Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\]
Giải
TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[\eqalign{
& f\left[ x \right] = {\left[ {{{\sin }^2}x} \right]^2} + {\left[ {{{\cos }^2}x} \right]^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;- 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\; = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;= 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr} \]
Vì \[0 \le {\sin ^2}2x \le 1\]nên: \[\,\,f\left[ x \right] \le 1\] với mọi \[x \in {\mathbb{R}},f\left[ 0 \right] = 1\]. Vậy \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = 1\]
\[*\,\,\,f\left[ x \right] \ge {1 \over 2}\] với mọi \[x \in {\mathbb{R}},f\left[ {{\pi \over 4}} \right] = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\]
Vậy \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\].
Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a] \[f\left[ x \right] = {x^2} + 2x - 5\]trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\];
b] \[f\left[ x \right] = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\]trên đoạn \[\left[ { - 4;0} \right]\];
c] \[f\left[ x \right] = x + {1 \over x}\]trên đoạn \[\left[ {0; + \infty } \right]\];
d] \[f\left[ x \right] = - {x^2} + 2x + 4\]trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\];
e] \[f\left[ x \right] = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\]trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\];
f] \[f\left[ x \right] = x - {1 \over x}\]trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\];
Giải
a] \[D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left[ x \right] = 2x + 2;f'\left[ x \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\]
Ta có: \[f\left[ { - 2} \right] = - 5;f\left[ { - 1} \right] = - 6;f\left[ 3 \right] = 10\].
Vậy: \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left[ x \right] = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \].
b]
\[D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left[ x \right] = {x^2} + 4x + 3;f'\left[ x \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr
x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f\left[ { - 4} \right] = - {{16} \over 3};f\left[ { - 1} \right] = - {{16} \over 3};\]
\[f\left[ { - 3} \right] = - 4;f\left[ 0 \right] = - 4\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\].
c] \[D = \left[ {0; + \infty } \right];f'\left[ x \right] = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\]với mọi \[x \ne 0,f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
\[x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.]\]
\[x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.]\]
\[\mathop {\min \,\,f\left[ x \right] = f\left[ 1 \right]}\limits_{x \in \left[ {0; + \infty } \right]} = 2\]. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
d] \[D = \left[ {2;4} \right];f'\left[ x \right] = - 2x + 2;f'\left[ x \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\]
Ta có: \[f\left[ 2 \right] = 4;f\left[ 4 \right] = - 4\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\,\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\].
e]
\[D = \left[ {0;1} \right];f'\left[ x \right] = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}};f'\left[ x \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f\left[ 0 \right] = 2;f\left[ 1 \right] = {{11} \over 3}\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\]
f] \[D = \left[ {0;2} \right];f'\left[ x \right] = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\] với mọi \[x \in \left[ {0;2} \right];f\left[ 2 \right] = {3 \over 2}\]
\[\mathop {\,\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\]. Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \[\left[ {0;2} \right]\].
Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a] \[y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\]
b] \[y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\]
Giải
a] Đặt \[t = \sin x, - 1 \le t \le 1\]
\[y = f\left[ t \right] = 2{t^2} + 2t - 1\]
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left[ t \right]\] trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\]. Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \[\mathbb R\].
\[f'\left[ t \right] = 4t + 2;f'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\]
Ta có: \[f\left[ { - 1} \right] = - 1;f\left[ { - {1 \over 2}} \right] = - {3 \over 2};f\left[ 1 \right] = 3\]
\[\mathop {\min \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\]
Vậy \[\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\].
b] Ta có: \[y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4\]
\[= - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\]
Đặt \[t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\]
\[y = f\left[ t \right] = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5;f'\left[ t \right] = - 2t - {1 \over 2};\]
\[f'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\]
Ta có: \[f\left[ { - 1} \right] = {9 \over 2};f\left[ { - {1 \over 4}} \right] = {{81} \over {16}};f\left[ 1 \right] = {7 \over 2}\]
\[\mathop {\min \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}\]
Vậy \[\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\].