Bài 27 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 4\]trong mỗi trường hợp sau
a] Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[3x - y + 17 = 0;\]
b] Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[x + 2y - 5 = 0;\]
c] Tiếp tuyến đi qua điểm [2, -2]
Giải
Đường tròn \[[C]:{x^2} + {y^2} = 4\]có tâm O [ 0;0 ] bán kính R = 2.
a] Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[3x - y + 17 = 0;\]có dạng \[\Delta :3x - y + c = 0.\]
Ta có: \[d\left[ {O,\Delta } \right] = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt {10} .\]
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:
\[3x - y - 2\sqrt {10} = 0;\,\,\,3x - y + 2\sqrt {10} = 0.\]
b] Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[x + 2y - 5 = 0;\]có dạng:
\[d:\,2x - y + c = 0.\]
Ta có: \[d\left[ {O,d} \right] = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt 5 .\]
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:
\[2x - y - 2\sqrt 5 = 0\,;\,\,\,\,\,2x - y + 2\sqrt 5 = 0.\]
Bài 28 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao
Xét vị trí tương đối của đường thẳng \[\Delta \]và đường tròn [C] sau đây
\[\eqalign{
& \Delta :3x + y + m = 0, \cr
& [C]:{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0. \cr} \]
Giải
[C] có tâm \[I[2, -1]\] và bán kính \[R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 1} = 2.\]
Khoảng cách từ I đến \[\Delta \]là:
\[d\left[ {I,\Delta } \right] = {{|3.2 - 1 + m|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }}\]
+] Nếu
\[{{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |m + 5| > 2\sqrt {10}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - 5 -2 \sqrt {10} \hfill \cr
m > - 5 + 2\sqrt {10} \hfill \cr} \right.\]
thì \[\Delta \]và [C] cắt nhau.
+] Nếu \[{{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |5 + m| = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow m = - 5 \pm 2\sqrt {10} \] thì \[\Delta \]và [C] tiếp xúc.
+] Nếu \[{{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} < 2 \Leftrightarrow |5 + m| < 2\sqrt {10} \]
\[\Leftrightarrow - 5 - 2\sqrt {10} < m < - 5 + 2\sqrt {10} \]thì \[\Delta \]và [C] không cắt nhau.
Bài 29 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau đây
\[\eqalign{
& [C]:{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0, \cr
& [C']:{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0. \cr} \]
Giải
\[\eqalign{
& [C]:{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0\,\,\,\,[\,1\,] \cr
& [C']:{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\,\,\,[2] \cr} \]
Lấy [1] trừ [2] ta được \[4x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}.\]
Thay \[x = - {3 \over 2}\]vào [1] ta được:
\[{9 \over 4} + {y^2} - 3 + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - {7 \over 4} = 0\]
\[\Leftrightarrow y = - 1 \pm {{\sqrt {11} } \over 2}\]
Tọa độ hai giao điểm của [C] và [C] là:
\[\left[ { - {3 \over 2}; - 1 - {{\sqrt {11} } \over 2}} \right];\,\,\,\left[ { - {3 \over 2}; - 1 + {{\sqrt {11} } \over 2}} \right]\]