Câu 1.8. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3.
Gợi ý làm bài:
\[A{H^2} = HB.HC = {12^2} = 144\]mà HC = 3HB nên \[H{B^2} = {{{{12}^2}} \over 3} = 48\], suy ra \[HB = 4\sqrt 3 \], \[HC = 12\sqrt 3 \]và \[BC = HB + HC = 16\sqrt 3 \left[ {cm} \right]\].
Câu 1.9. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Tại sao ?
a] HCD đồng dạng với ABM.
b] AH = 2HD.
Gợi ý làm bài:
a] Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng [ có cùng góc nhọn tại C] mà DCM đồng dạng với ABM [ vì là hai tam giác vuông có \[\widehat {DMC} = \widehat {AMB}\], vậy HCD đồng dạng với ABM. Khẳng định a] đúng.
b] Theo câu a], từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC [ H là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D] nên HC = 2HD < MC = AM < AH [ do M nằm giữa A và H], vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b] là sai.
Câu 1.10. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.
Gợi ý làm bài:
Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:
\[{{HD} \over {HB}} = {{A{D^2}} \over {A{B^2}}} = {{{4^2}} \over {{6^2}}} = {4 \over 9}.\]
Dễ thấy HDC đồng dạng với HBA nên
\[{{DC} \over {AB}} = {{HD} \over {HB}} = {4 \over 9}\]suy ra \[DC = {4 \over 9}.6 = {8 \over 3}\left[ {cm} \right]\]
Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy \[KB = AB-DC = 6 - {8 \over 3} = {{10} \over 3}.\]
Từ đó \[B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2} = {{100} \over 9} + 16 = {{244} \over 9}\]suy ra \[BC = {{\sqrt {244} } \over 3} = {{2\sqrt {61} } \over 3}\left[ {cm} \right]\]
Tam giác vuông ABD có \[D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {4^2} = 52\], từ đó \[DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left[ {cm} \right]\]