Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a] \[\tan x > \sin x,0 < x < {\pi \over 2}\]
b] \[1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} < 1 + {1 \over 2}x\]với \[0 < x < + \infty \]
Hướng dẫn làm bài:
a] Xét hàm số \[f[x] = \tan x - \sin x\] trên nửa khoảng \[{\rm{[}}0;{\pi \over 2}]\];
\[f'[x] = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - \cos x = {{1 - {{\cos }^3}x} \over {{{\cos }^2}}} \ge 0;x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2}]\]
Dấu = xảy ra khi x = 0.
Suy ra f[x] đồng biến trên nửa khoảng\[{\rm{[}}0;{\pi \over 2}]\]
Mặt khác, ta có f[0] = 0, nên f[x] = tan x sin x > 0 hay tan x > sin x với mọi \[x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2}]\]
b] Xét hàm số \[h[x] = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x}\]trên$${\rm{[}}0; + \infty ]$$
\[\eqalign{
& h'[x] = {1 \over 2} - {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} \ge 0 \cr
& 1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} ,0 \le x \le + \infty \cr} \]
Dấu = xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h[x] đồng biến trên nửa khoảng \[{\rm{[}}0; + \infty ]\].
Vì h[x] = 0 nên \[h[x] = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x} > 0\]
Hay \[1 + {1 \over 2}x > \sqrt {1 + x} \] với \[0 \le x < + \infty \]
Xét hàm số trên \[f[x] = \sqrt {1 + x} - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8}\] trên \[{\rm{[}}0; + \infty ]\];
\[\eqalign{
& g[x] = f'[x] = {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} - {1 \over 2} + {x \over 4} \cr
& g'[x] = {1 \over 4} - {1 \over {4[1 + x]\sqrt {1 + x} }} \ge 0,0 \le x < + \infty \cr} \]
Vì g[0] = 0 và g[x] đồng biến trên nửa khoảng \[{\rm{[}}0; + \infty ]\]nên \[g[x] \ge 0\], tức là \[f'[x] \ge 0\]trên khoảng đó và vì dấu = xảy ra chỉ tại x = 0 nên f[x] đồng biến trên nửa khoảng .
Mặt khác, ta có f[0] = 0 nên
\[f[x] = \sqrt {1 + x} - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8} > 0\]
hay \[1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} \]
Với mọi \[0 < x < + \infty \].
Bài 1.9 trang 9 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh rằng phương trình \[{x^3} - 3x + c = 0\]không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1].
Hướng dẫn làm bài:
Đặt \[f[x] = {x^3} - 3x + C\]. TXĐ: R
\[f'[x] = 3{x^2} - 3 = 3[{x^2} - 1]\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Bảng biến thiên:
Trên đoạn [0; 1] hàm số f[x] nghịch biến nên đồ thị của hàm số f[x] không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1].
Bài 1.10 trang 9 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xác định giá trị của b để hàm số f[x] = \[\sin x - bx + c\]nghịch biến trên toàn trục số.
Hướng dẫn làm bài:
\[f[x] = \sin x - bx + c\]nghịch biến trên R nếu ta có:
\[f'[x] = \cos x - b \le 0,\forall x \in R\] .
Vì \[|\cos x| \le 1\] nên \[f'[x] \le 0,\forall x \in R < = > b \ge 1.\]