Bài 1.9 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Nếu \[\lim {v_n} = 0\]và \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\]với mọin thì \[\lim {u_n} = 0\]. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
a] \[{u_n} = {1 \over {n!}}\];
b] \[{u_n} = {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {2n - 1}}\];
c] \[{u_n} = {{2 - n{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}\];
d] \[{u_n} = {\left[ {0,99} \right]^n}\cos n\] ;
e] \[{u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi \]
Giải:
a] Vì \[\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}\]với mọin và \[\lim {1 \over n} = 0\]nên \[\lim {1 \over {n!}} = 0\]
b] 0 ; c] 0 ; d] 0 ;
e] Ta có \[{u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi = {5^n}\left[ {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right]\] [1]
Vì \[\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}\]và \[\lim {1 \over {{5^n}}} = 0\]nên \[\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0\]
Do đó, \[\lim \left[ {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right] = 1 > 0\] [2]
Mặt khác, \[\lim {5^n} = + \infty \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra \[\lim \left[ {{5^n} - \cos \sqrt n \pi } \right] = \lim {5^n}\left[ {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right] = + \infty \]
Bài 1.10 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho dãy số $\left[ {{u_n}} \right]$xácđịnh bởi công thức truy hồi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.
Giải :
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
Ta có, \[{u_1} = 2,\,\,{u_2} = {3 \over 2},\,\,{u_3} = {5 \over 4},\,\,{u_4} = {9 \over 8},\,\,{u_5} = {{17} \over {16}}\]
Dự đoán, \[{u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\]với \[n \in N*\]
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp [bạn đọc tự chứng minh].
Từ đó,
\[\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr
& = \lim \left[ {1 + {{\left[ {{1 \over 2}} \right]}^{n - 1}}} \right] \cr
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left[ {{1 \over 2}} \right]}^n}} \right] = 1 \cr}\]
Bài 1.11 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[1, - {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{\left[ { - {1 \over 2}} \right]^{n - 1}},...\]
Giải :
ĐS:
\[{2 \over 3}\]
Bài 1.12 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính tổng \[S = 1 + 0,9 + {\left[ {0,9} \right]^2} + {\left[ {0,9} \right]^3} + ... + {\left[ {0,9} \right]^{n - 1}} + ...\]
Giải:
ĐS: 10