Bài 2.13 trang 63 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong mặt phẳng \[[\alpha ]\]cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \[[\alpha ]\]ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \[[\beta ]\]đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \[[\beta ]\]cắt SB, SC, SD lần lượt tại B , C, D.
a] Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B, C , D luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b] Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có \[\left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\RightarrowBC \bot [SAB] \RightarrowBC \bot AB'\]
Ta lại có \[AB' \bot SC\]nên suy ra \[AB' \bot [SBC]\]. Do đó\[AB' \bot B'C\]
Chứng minh tương tự ta có \[AD' \bot D'C\].
Vậy \[\widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\]
Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B , C, D cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.
b] Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có\[r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy \[S = 4\pi {r^2} = 4\pi {[{{a\sqrt 2 } \over 2}]^2} = 2\pi {a^2}\]và\[V = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi {[{{a\sqrt 2 } \over 2}]^3} = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \]
Bài 2.14 trang 63 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng [ABC] cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Vì SA = SB = SC nên ta có \[SO \bot [ABC]\]và OS là trục của đường tròn tâm O. Do đó \[SO \bot AO\]. Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.
Ta có \[{{SI} \over {SA}} = {{SM} \over {SO}} = {{SA} \over {2SO}}\] với SI = IA = IB = IC = r
Vậy\[r = SI = {{S{A^2}} \over {2SO}} = {{{a^2}} \over {2h}}\]
Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là :
\[S = 4\pi {r^2} = 4\pi {[{{{a^2}} \over {2h}}]^2} = \pi {{{a^4}} \over {{h^2}}}\]
Bài 2.15 trang 63 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau \[\Delta \]và \[\Delta '\]có AA là đoạn vuông góc chung, trong đó\[A \in \Delta \] và \[A' \in \Delta '\]. Gọi \[[\alpha ]\]là mặt phẳng chứa AA và vuông góc với \[\Delta '\]và cho biết AA = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng\[[\alpha ]\] lần lượt cắt \[\Delta \]và\[\Delta '\] tại M và M . Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \[[\alpha ]\]là M1.
a] Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A , M , M, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = AM và góc\[\varphi = [\Delta ,\Delta ']\]
b] Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
Hướng dẫn làm bài:
a] Theo giả thiết ta có: \[\widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\]
Do đó 5 điểm A, A, M, M ,M1 cùng thuộc mặt cầu [S] tâm O, với O là trung điểm của AM và có bán kính\[r = {{A'M} \over 2}\]
Mặt khác ta có AM2= AA2+ AM2, trong đó \[\cos \varphi = {{M{M_1}} \over {AM}}\] nên\[AM = {{M{M_1}} \over {\cos \varphi }} = {x \over {\cos \varphi }}\]
Do đó \[A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}\]
\[\RightarrowA'M = \sqrt {{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}} = {1 \over {\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \]
Mặt cầu tâm O có bán kính \[r = {{A'M} \over 2} = {1 \over {2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \]
Diện tích của mặt cầu tâm O là: \[S = 4\pi {r^2} = \pi {[2r]^2} = \pi {[A'M]^2} = \pi [{a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}]\]
b] Gọi I là trung điểm của đoạn AA. Ta có IO // \[\Delta \]nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với \[\Delta \]. Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A , có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA. Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA nằm trong mặt phẳng AA và vuông góc với d.