Câu 23 trang 97 SGK Hình học 10
Cho elip \[[E]: x^2+ 4y^2= 1\] và cho các mệnh đề:
[I]: \[[E]\] có trục lớn bằng \[1\]
[II] \[[E]\] có trục nhỏ bằng \[4\]
[III] \[[E]\] có tiêu điểm \[{F_1}[0,{{\sqrt 3 } \over 2}]\]
[IV] \[[E]\] có tiêu cự bằng \[\sqrt3\].
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A. [I] B. [II] và [IV]
C. [I] và [III] D. [IV]
Trả lời:
Elip:
\[\eqalign{
& {x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over {{1 \over 4}}} = 1 \cr
& {a^2} = 1;{b^2} = {1 \over 4},{c^2} = {a^2} - {b^2} = {3 \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = {1 \over 2} \hfill \cr
c = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
_ Độ dài trục lớn \[2a = 2\], độ dài trục nhỏ \[2b = 1\]
_ Tiêu cự \[2c = \sqrt3\] và tiêu điểm
\[\left\{ \matrix{
{F_1}[ - {{\sqrt 3 } \over 2},0] \hfill \cr
{F_2}[{{\sqrt 3 } \over 2},0] \hfill \cr} \right.\]
_ Mệnh đề đúng: [E] có tiêu cự là \[\sqrt3\]. Vậy chọn D.
Câu 24 trang 97 SGK Hình học 10
Dây cung của elip [E]:\[{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 [0 < b < a]\] vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:
A. \[{{2{c^2}} \over a}\]
B. \[{{2{b^2}} \over a}\]
C. \[{{2{a^2}} \over c}\]
D. \[{{{a^2}} \over c}\]
Trả lời:
Đường thẳng \[Δ\] đi qua tiêu điểm \[F[c; 0]\] của elip [E]: \[{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1[0 < b < a]\] và vuông góc với trục lớn của phương trình :\[ x c = 0\].
\[Δ\] cắt \[[E]\] tại hai điểm \[M\] và \[N\] có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x - c = 0 \hfill \cr
{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = c \hfill \cr
y = \pm {{{b^2}} \over a} \hfill \cr} \right.\]
Độ dài dây cung của \[[E]\] là độ dài đoạn thẳng \[MN = {{2{b^2}} \over a}\]
Chọn B
Câu 25 trang 97 SGK Hình học 10
Một elip có trục lớn là \[26\], tỉ số \[{c \over a} = {{12} \over {13}}\]. Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu?
A. \[5\] B. \[10\]
C. \[12\] D. \[14\]
Trả lời:
Ta có: \[2b = 10\]. Suy ra \[b = 5\]
Vậy chọn A.
Câu 26 trang 97 SGK Hình học 10
Cho elip \[[E]: 4x^2+ 9y^2= 36\]. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
A. \[[E]\] có trục lớn bằng \[6\]
B. \[[E]\] có trục nhỏ bằng \[4\]
C. \[[E]\] có tiêu cự bằng \[\sqrt5\]
D. \[[E]\] có tỉ số \[{c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\]
Trả lời:
\[\eqalign{
& 4{x^2} + {\rm{ }}9{y^2} = {\rm{ }}36 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr
& \left\{ \matrix{
{a^2} = 9 \hfill \cr
{b^2} = 4 \hfill \cr
{c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = 2 \hfill \cr
c = \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
_ Độ dài trục lớn \[2a 6\], độ dài trục nhỏ \[2b = 4\]
_ Tiêu cự \[2c = 2\sqrt5\] và tỉ số\[{c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\]
_ Mệnh đề sai: \[[E]\] có tiêu cự bằng \[\sqrt5\]
Vậy C sai