Bài 23 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a] \[{\sin ^2}[{\pi \over 8} + \alpha ] - {\sin ^2}[{\pi \over 8} - \alpha ] = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha\]
b] \[{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}[\alpha - {\pi \over 3}] + {\cos ^2}[{{2\pi } \over 3} - \alpha ] = {3 \over 2}\]
c] \[\tan [{\pi \over 3} - \alpha ]\tan \alpha \tan [{\pi \over 3} + \alpha ] = \tan 3\alpha \][khi các biểu thức có ý nghĩa]
Ứng dụng: Tính tan100 tan500 tan1100
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& {\sin ^2}[{\pi \over 8} + \alpha ] - {\sin ^2}[{\pi \over 8} - \alpha ] \cr&= {\rm{[}}\sin [{\pi \over 8} + \alpha ] + \sin [{\pi \over 8} - \alpha ]{\rm{]}}.\cr&\;\;\;\;\;{\rm{[}}\sin [{\pi \over 8} + \alpha ] - \sin [{\pi \over 8} - \alpha ]{\rm{]}} \cr
& {\rm{ = [2sin}}{\pi \over 8}\cos \alpha ][2\cos {\pi \over 8}\sin \alpha ] \cr&= \sin {\pi \over 4}\sin 2\alpha = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha \cr} \]
b] Chú ý rằng:
\[\left\{ \matrix{
\cos {{2\pi } \over 3} = - \cos {\pi \over 3} \hfill \cr
\sin {{2\pi } \over 3} = \sin {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}[\alpha - {\pi \over 3}] + {\cos ^2}[{{2\pi } \over 3} - \alpha ] \cr
& = {\cos ^2}\alpha + {[cos\alpha \cos {\pi \over 3} + \sin \alpha \sin {\pi \over 3}]^2} \cr&+ {[cos{{2\pi } \over 3}\cos \alpha + \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3}]^2} \cr
& = {\cos ^2}\alpha + 2[{1 \over 4}{\cos ^2}\alpha + {3 \over 4}{\sin ^2}\alpha ] \cr
& = {3 \over 2}[{\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ] = {3 \over 2} \cr} \]
c] Ta có:
\[\eqalign{
& \tan [{\pi \over 3} - \alpha ]\tan \alpha \tan [{\pi \over 3} + \alpha ] \cr
& = {{\sqrt 3 - \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 - \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr
& = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1] \cr
& \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha .\tan \alpha }} = {{{{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 - {{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr
& = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha\,\,\,\,\,\,[2] \cr} \]
Từ [1] và [2] suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng:
\[\eqalign{
& tan{10^0}tan{50^0}tan{110^0} \cr&= \tan [{60^0} - {50^0}]\tan {50^0}\tan [{60^0} + {50^0}] \cr
& = \tan {150^0} = - \tan {30^0} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \]
Bài 24 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh rằng:
a] \[\sin [\alpha + \beta ]\sin [\alpha - \beta ] = si{n^2}\alpha - {\sin ^2}\beta =\]
\[{\cos ^2}\beta - {\cos ^2}\alpha \]
b] \[{{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha - tan\beta }} = {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\sin [\alpha - \beta ]}}\][Khi các biểu thức có nghĩa]
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \sin [\alpha + \beta ]\sin [\alpha - \beta ]\cr& = [\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha ].\cr&[\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha ] \cr
& = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta - {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha \cr&= {\sin ^2}\alpha [1 - {\sin ^2}\beta ] - {\sin ^2}\beta [1 - {\sin ^2}\alpha ] \cr
& = {\sin ^2}\alpha - {\sin ^2}\beta = [1 - {\cos ^2}\alpha ] - [1 - {\cos ^2}\beta ] \cr
& = {\cos ^2}\beta - {\cos ^2}\alpha \cr} \]
Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng
b] Ta có:
\[\eqalign{
& \tan \alpha + tan\beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr
& = {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} = {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \]
Tương tự: \[\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin [\alpha - \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\]
Do đó: \[{{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha - tan\beta }} = {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\sin [\alpha - \beta ]}}\]
Bài 25 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao
Tìm các số c và β sao cho: \[sinα + cosα =c.sin[α + β]\] với mọi α
Đáp án
Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin[α + β] với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ
Khi \[\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \]
Từ đó: C 0; \[\sin \beta = \cos \beta = {1 \over C}\]
Vậy:
\[\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,[k \in Z] \hfill \cr
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\]
hoặc
\[\left\{ \matrix{
\beta = - {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,[k \in Z] \hfill \cr
C = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\]
Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \[sinα + cosα =c.sin[α + β]\] với mọi \[α\]
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
\[\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin [\alpha + {\pi \over 2}] = 2\sin [\alpha + {\pi \over 4}]cos{\pi \over 4} \cr
& = \sqrt 2 \sin [\alpha + {\pi \over 4}] \cr
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha - \sin [{{3\pi } \over 2} - \alpha ]\cr& = 2\cos [{{3\pi } \over 4}]\sin [\alpha - {{3\pi } \over 4}] \cr
& = - \sqrt 2 \sin [\alpha - {{3\pi } \over 4}] \cr} \]