Bài 2.37 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng.
Gợi ý làm bài
[h.2.29]
Xét hình bình hành ABCD có\[AB = a,AD = b,\widehat {BAD} = \alpha \] và BH là đường cao, ta có\[BH \bot AD\] tại H
Gọi S là diện tích hình bình hành ABCD, ta có S = AD. BH với\[BH = AB\sin \alpha \]
Vậy\[S = AD.AB\sin \alpha = a.b.\sin \alpha \]
Nếu\[\widehat {BAD} = \alpha \] thì\[\widehat {ABC} = {180^0} - \alpha \]
Khi đó ta vẫn có\[\sin \widehat {BAD} = \sin \widehat {ABC}\]
Khi đó ta vẫn có
Nhận xét:Diện tích hình bình hành ABCD gấp đôi diện tích tam giác ABD mà tam giác ABD có diện tích là\[{1 \over 2}ab\sin \alpha \].Do đó ta suy ra diện tích của hình bình hành bằng\[ab\sin \alpha \]
Bài 2.38 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y và góc tạo bởi AC và BD là \[\alpha \].Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a] Chứng minh rằng \[S = {1 \over 2}x.y.\sin \alpha \]
b] Nêu kết quả trong trường hợp AC vuông góc với BD.
Gợi ý làm bài
[h.2.30]
a] Ta có: \[{S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{CBD}}\]
Vẽ AH và CK vuông góc với BD.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: \[AH = AI\sin \alpha \]
\[{S_{ABCD}} = {1 \over 2}AH.BD + {1 \over 2}CK.BD\]
\[ = {1 \over 2}BD[AH + CK]\]
\[ = {1 \over 2}BD[AI + IC]sin\alpha = {1 \over 2}BD.AC\sin \alpha \]
\[{S_{ABCD}} = {1 \over 2}x.y\sin \alpha \]
b] Nếu\[AC \bot BD\] thì\[\sin \alpha = 1\],khi đó\[{S_{ABCD}} = {1 \over 2}x.y\].Như vậy nếu tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.
Bài 2.39 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng hình bình hành ABC'D.Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tam giác ACC'có diện tích bằng nhau.
Gợi ý làm bài
[h.2.31]
Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Ta có: \[\widehat {CAC'} = \alpha \] vì \[AC'\parallel BD\]
Theo kết quả bài 2.38 ta có:
\[{S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\sin \alpha \]
Mặt khác \[{S_{ACC'}} = {1 \over 2}AC.AC'\sin \alpha \]
Mà AC' = BD nên \[{S_{ABCD}} = {S_{ACC'}}\]
Bài 2.40 trang 102 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tứ giác ABC biết \[c = 35cm,\,\,\widehat A = {40^0},\,\,\widehat C = {120^0}\]. Tính \[a,b,\widehat B\]
Gợi ý làm bài
Ta có:
\[\eqalign{
& \widehat B = {180^0} - [\widehat A + \widehat C] \cr
& = {180^0} - [{40^0} + {120^0}] = {20^0} \cr} \]
Theo định lí sin ta có:
\[\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {c \over {\sin C}} = \cr
& > a = {{c\sin A} \over {\sin C}} = {{35.\sin {{40}^0}} \over {\sin {{120}^0}}} \approx 26[cm] \cr} \]
\[\eqalign{
& {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} \cr
& = > b = {{c\sin B} \over {\sin C}} = {{35.\sin {{20}^0}} \over {\sin {{120}^0}}} \approx 14[cm] \cr} \]