Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình:
a] \[{{\sin 3x} \over {\cos 3x - 1}} = 0\]
b] \[\cos 2x\cot \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = 0\]
c] \[\tan \left[ {2x + {{60}^o}} \right]\cos \left[ {x + {{75}^o}} \right] = 0\]
d] \[\left[ {\cot x + 1} \right]\sin 3x = 0\]
Giải:
a] Điều kiện: cos3x 1. Ta có:
sin3x = 0 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m Z bị loại nên 3x = [2m + 1]π. Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \left[ {2m + 1} \right]{\pi \over 3},m \in Z\]
b] Điều kiện: \[\sin \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] \ne 0\]. Biến đổi phương trình:
\[\cos 2x.\cot \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = 0 \Rightarrow \cos 2x.\cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = 0\]
\[ \Rightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z. \hfill \cr} \right.\]
Do điều kiện, các giá trị \[x = {\pi \over 4} + 2m{\pi \over 2},m \in Z\] bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:
\[x = {\pi \over 4} + \left[ {2m + 1} \right]{\pi \over 2},m \in Z\] và \[x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z\]
c] Điều kiện:
\[\cos \left[ {2x + {{60}^o}} \right] \ne 0\]
\[\eqalign{
& \tan \left[ {2x + {{60}^o}} \right]\cos \left[ {x + {{75}^o}} \right] = 0 \cr
& \Rightarrow \sin \left[ {2x + {{60}^o}} \right]\cos \left[ {x + {{75}^o}} \right] = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\sin \left[ {2x + {{60}^o}} \right] = 0 \hfill \cr
\cos \left[ {x + {{75}^o}} \right] = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
2x + {60^o} = k{180^o} \hfill \cr
x + {75^o} = {90^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z \hfill \cr
x = {15^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr}\]
Do điều kiện ở trên, các giá trị \[x = {15^o} + k{180^o},k \in Z\] bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z\]
d] Điều kiện: sinx 0. Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {\cot x + 1} \right]\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cot x = - 1 \hfill \cr
\sin 3x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = k{\pi \over 3},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \]
Do điều kiệnsinx 0 nên những giá trị \[x = k{\pi \over 3}\] và \[k = 3m,m \in Z\] bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[x = - {\pi \over 4} + k\pi {\rm{ ; }}x = {\pi \over 3} + k\pi\] và \[x = {{2\pi } \over 3} + k\pi ,k \in Z\]
Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau
a] \[y = \cos \left[ {2x - {\pi \over 3}} \right]$ và$y = \cos \left[ {{\pi \over 4} - x} \right]\]
b] \[y = \sin \left[ {3x - {\pi \over 4}} \right]$ và$y = \sin \left[ {x + {\pi \over 6}} \right]\]
c] \[y = \tan \left[ {2x + {\pi \over 5}} \right]$ và $y = \tan \left[ {{\pi \over 5} - x} \right]\]
d]\[y = \cot 3x\]và \[y = \cot \left[ {x + {\pi \over 3}} \right]\]
Giải:
a]
\[\eqalign{
& \cos \left[ {2x - {\pi \over 3}} \right] = \cos \left[ {{\pi \over 4} - x} \right] \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {\pi \over 3} = {\pi \over 4} - x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
2x - {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy các giá trị cần tìm là: \[x = {{7\pi } \over {36}} + k{{2\pi } \over 3},k \in Z\] và \[x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z\]
b]
\[\eqalign{
& \sin \left[ {3x - {\pi \over 4}} \right] = \sin \left[ {x + {\pi \over 6}} \right] \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x - {\pi \over 4} = x + {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
3x - {\pi \over 4} = \pi - x - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {{5\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
4x = {{13\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy các giá trị cần tìm là: \[x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z\] và \[x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z\]
c]
\[\eqalign{
& \tan \left[ {2x + {\pi \over 3}} \right] = \tan \left[ {{\pi \over 5} - x} \right] \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos \left[ {2x + {\pi \over 5}} \right] \ne 0;\,\,\cos \left[ {{\pi \over 5} - x} \right] \ne 0\left[ 1 \right] \hfill \cr
2x + {\pi \over 5} = {\pi \over 5} - x + k\pi ,k \in Z\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right. \cr
& \left[ 2 \right] \Leftrightarrow x = {{k\pi } \over 3},k \in Z \cr} \]
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện [1]. Vậy ta có: \[x = {{k\pi } \over 3},k \in Z\]
d]
\[\eqalign{
& \cot 3x = \cot \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sin 3x \ne 0;\,\,\sin \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] \ne 0\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \hfill \cr
3x = x + {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z\,\,\,\,\left[ 4 \right] \hfill \cr} \right. \cr
& \left[ 4 \right] \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 2},k \in Z \cr} \]
Nếu k = 2m + 1, m Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện [3].
Suy ra các giá trị cần tìm là \[x = {\pi \over 6} + m\pi ,m \in Z\]
Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a] cos 3x - sin 2x = 0
b]tanx. tan 2x = - 1
c]sin 3x + sin 5x = 0
d] cot 2x. cot 3x = 1
Giải:
a]
\[\eqalign{
& \cos 3x - \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left[ {{\pi \over 2} - 2x} \right] \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm \left[ {{\pi \over 2} - 2x} \right] + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = {\pi \over {10}} + {{k2\pi } \over 5},k \in Z\] và\[x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z\]
b] Điều kiện của phương trình:cos x 0 và cos2x 0
\[\eqalign{
& \tan x.\tan 2x = - 1 \cr
& \Rightarrow \sin x.\sin 2x = - \cos x.\cos 2x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos x + \sin 2x.\sin x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos x = 0 \cr} \]
Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.
c]
\[\eqalign{
& \sin 3x + \sin 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 4x.\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = {{k\pi } \over 4},k \in Z{\rm{ }}\] và \[x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\]
d] Điều kiện: sin2x 0 và sin 3x 0
\[\eqalign{
& \cot 2x.\cot 3x = 1 \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x = \sin 2x.\sin 3x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x - \sin 2x.\sin 3x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z \cr} \]
Với k = 2 + 5m, m Z thì
\[\eqalign{
& x = {\pi \over {10}} + \left[ {2 + 5m} \right].{\pi \over 5} \cr
& = {\pi \over {10}} + {{2\pi } \over 5} + m\pi \cr
& = {\pi \over 2} + m\pi ,m \in Z \cr} \]
Lúc đó\[\sin 2x = \sin \left[ {\pi + 2m\pi } \right] = 0\], không thỏa mãn điều kiện.
Có thể suy ra nghiệm phương trình là \[x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z\] và k 2 + 5m,m Z