Câu 26 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d.
Giải:
Ta có: a < b \[ \Rightarrow a + c < b + c\] [1]
\[c < d \Rightarrow b + c < b + d\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: a + c < b + d.
Câu 27 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd.
Giải:
Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:
\[a < b \Rightarrow ac < bc\] [1]
\[c < d \Rightarrow bc < bd\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ac < bd.
Câu 28 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì :
a. \[{a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\]
b. \[{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab\]
Giải:
a. Ta có:
\[{\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\]
b. Ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & \Rightarrow \left[ {{a^2} + {b^2}} \right].{1 \over 2} \ge 2ab.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab \cr} \]
Câu 29 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:
\[{a \over b} + {b \over a} \ge 2\]
Giải:
Ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr} \]
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\] [*]
\[a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\]
Nhân hai vế của [*] với \[{1 \over {ab}}\] ta có:
\[\eqalign{ & \left[ {{a^2} + {b^2}} \right].{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr} \]