Bài 26 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận phương trình sau [m và a là những tham số]
a] \[[2x + m 4][2mx x + m] = 0\];
b] \[|mx + 2x 1| = | x|\];
c] \[[mx + 1]\sqrt {x - 1} = 0\]
d] \[{{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\]
e] \[{{[m + 1]x + m - 2} \over {x + 3}} = m\]
f] \[|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\]
Giải
a] Ta có:
[2x + m 4][2mx x + m] = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} \hfill \cr
[2m - 1]x = - m \hfill \cr} \right.\]
+ Với \[m = {1 \over 2}\]phương trình có nghiệm: \[x = {{4 - m} \over 2} = {7 \over 4}\]
+ Với \[m \ne {1 \over 2}\]phương trình có hai nghiệm: \[x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\]
b] Ta có:
\[|mx + 2x 1| = | x|\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
[m + 1]x = 1 \hfill \cr
[m + 3]x = 1 \hfill \cr} \right.\]
+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \[x = {1 \over 2}\]
+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \[x = - {1 \over 2}\]
+ Với m -1 và m -3 thì phương trình có hai nghiệm: \[x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\]
c] Điều kiện: x 1
Ta có:
\[[mx + 1]\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
mx + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\]
+ Với m = 0, phương trình có nghiệm x = 1
+ Với m 0 [1] \[x = - {1 \over m}\]
Kiểm tra điều kiện:
\[\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \]
Do đó:
+ Với -1 < m < 0 ; \[S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\]
+ Với
\[\left[ \matrix{
m \le -1 \hfill \cr
m \ge 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,S = {\rm{\{ }}1\} \]
d] Điều kiện: x 2
Ta có:
\[\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \Leftrightarrow 2a - 1 = [a - 2][x - 2] \cr
& \Leftrightarrow [a - 2]x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,[1] \cr} \]
+ Với a = 2 thì S = Ø
+ Với a 2 thì \[[1] \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\]
Kiểm tra điều kiện:
\[x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\]
Vậy a = 2 hoặc \[a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \]
a 2 và \[a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\]
e] Điều kiện: x -3
Phương trình đã cho tương đương với:
[m + 1]x+ m 2= m[x + 3] x = 2m + 2
x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \[\Leftrightarrow 2m + 2 \ne - 3 \Leftrightarrow m \ne - {5 \over 2}\]
i] Với \[m \ne - {5 \over 2}\]thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
ii] Với \[m = - {5 \over 2}\]thì phương trình vô nghiệm
f] Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm
Với a 0. Điều kiện: x 1
Ta có:
\[|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1\,\,\,[l] \hfill \cr
2ax = a - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy a = 0 ; S = Ø
\[a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\]
Bài 27 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:
a] \[4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\]
b] \[{x^2}+ 4x 3|x + 2| + 4 = 0\]
c] \[4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + |2x - {1 \over x}| - 6 = 0\]
Giải
a] \[4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\]
Đặt \[t = \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} \,\,[t \ge 0]\]
4x2 12x = t2 11
Ta có phương trình:
\[{t^2} - 11 - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 4 \hfill \cr} \right.\]
+ Với t = 1, ta có:
\[\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 10 = 0\] [vô nghiệm]
+ Với t = 4, ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{6 \pm \sqrt {56} } \over 4} = {{3 \pm \sqrt {14} } \over 2} \cr} \]
b] Đặt \[t = | x + 2| [t 0] \] x2 + 4x = t2 4
Ta có phương trình:
\[\eqalign{
& {t^2} - 4 - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
|x + 2| = 0 \hfill \cr
|x + 2| = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x + 2 = 3 \hfill \cr
x + 2 = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy S = {-5, -2, 1}
c] Đặt \[t = |2x - {1 \over x}|\,\,\,[t \ge 0]\]
\[ \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} - 4 \Rightarrow 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} = {t^2} + 4\]
Ta có phương trình:
\[{t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\,\,[l] \hfill \cr} \right.\]
\[t = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {1 \over x} = 1 \hfill \cr
2x - {1 \over x} = - 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2{x^2} - x - 1 = 0 \hfill \cr
2{x^2} + x - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1;\,x = - {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1;\,x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }} - 1, - {1 \over 2};{1 \over 2};1\} \]
Bài 28 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx 2| = |x + 4| [*]
Giải
Ta có:
|mx 2| = |x + 4| [mx -2]2 = [x + 4]2
[m2 1]x2 - 4[m + 2]x 12 = 0 [1]
+ Với m = 1 thì [1] trở thành : -12x 12 = 0 x = -1
+ Với m = -1 thì [1] trở thành: -4x 12 = 0 x = -3
+ Với m ± 1 thì [1] có nghiệm duy nhất:
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow\Delta ' = 4{[m + 2]^2} + 12[{m^2} - 1] = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {[2m + 1]^2} = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \]
Với \[m \in {\rm{\{ }} - 1; - {1 \over 2};1\}\]thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 29 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm?
\[{{x + 1} \over {x - a + 1}} = {x \over {x + a + 2}}\]
Giải
Điều kiện: x a 1 và x -a 2
Ta có:
[1] [x + 1][x + a + 2] = x[x a + 1]
x2 + [a + 3]x + a + 2 = x2 [a 1]x
2[a + 1]x = -a 2 [2]
+ Với a = -1 thì S = Ø
+ Với a -1 thì\[[2] \Leftrightarrow x = {{ - a - 2} \over {2[a + 1]}}\]
Kiểm tra điều kiện:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x \ne a - 1 \hfill \cr
x \ne - a - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{ - a - 2} \over {2[a + 1]}} \ne a - 1 \hfill \cr
{{ - a - 2} \over {2[a + 1]}} \ne - a - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- a - 2 \ne 2[{a^2} - 1] \hfill \cr
- [a + 2] \ne 2[a + 2][a + 1] \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2{a^2} + a \ne 0 \hfill \cr
[a + 2][2a + 1] \ne 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
a \ne - {1 \over 2} \hfill \cr
a \ne - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]