Câu 30 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
a. AD = AE [gt]
ADE cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {ADE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
ABC cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
Suy ra: \[\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\]
DE // BC [vì có cặp góc đồng vị bằng nhau]
Tứ giác BDEC là hình thang
\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\][tính chất tam giác cân]
Hay \[\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\]. Vậy BDEC là hình thang cân
b. Ta có: BD = DE BDE cân tại D
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1}\]
Mà \[{\widehat E_1} = {\widehat B_2}\][so le trong]
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\]
DE = EC DEC cân tại E
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
\[{\widehat D_1} = {\widehat C_2}\][so le trong]
\[ \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat C_2}\]
Vậy khi BE là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\], CD là tia phân giác của \[\widehat {ACB}\]thì BD = DE = EC.
Câu 31 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
\[\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\,\,\,\,[gt] \cr
& \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD} \cr} \]
OCD cân tại O
OC = OD
OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC [tính chất hình thang cân]
OA = OB
Xét ADC và BCD :
AD = BC [chứng minh trên]
AC = BD [tính chất hình thang cân]
CD cạnh chung
Do đó: ADC = BCD [c.c.c]
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
EDC cân tại E
EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD
E O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
BD = AC [chứng minh trên]
EB + ED = EA + EC mà ED = EC
EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
E O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
Câu 32 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH.
Chứng minh rằng [a và b có cùng đơn vị đo]
b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm
Giải:
a. Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\]
AD = BC [tính chất hình thang cân]
\[\widehat D = \widehat C\] [gt]
Do đó: AHD = BKC [cạnh huyền, góc nhọn]
HD = KC
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
ab = DC AB = DC HK = HD + KC = 2HD
\[ \Rightarrow HD = {{a - b} \over 2}\]
\[HD = DC-HD = a - {{a - b} \over 2} = {{a + b} \over 2}\]
b. \[HD = {{CD - AB} \over 2} = {{26 - 10} \over 2} = 8\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông AHD có \[\widehat {AHD} = {90^0}\]
\[A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\][định lí Pi-ta-go]
\[\eqalign{
& \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \cr
& A{H^2} = {17^2} - {8^2} = 289 - 64 = 225 \cr
& AH = 15[cm] \cr} \]
Câu 33 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.
Giải:
Ta có: AD = BC = 3 [cm] [tính chất hình thang cân]
\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\][so le trong]
\[\eqalign{
& \widehat {ADB} = \widehat {BDC}[gt] \cr
& \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \]
ABD cân tại A
AB = AD = 3 [cm]
BDC vuông tại B
\[ \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\]
\[\widehat {ADC} = \widehat C\][gt]
Mà \[\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\]nên \[\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat C\]
\[\widehat C + {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \widehat C = {60^0}\]
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
DE = 3 [cm], BE = 3 [cm]
\[\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\] [đồng vị ]
Suy ra: \[\widehat {BEC} = \widehat C\]
BEC cân tại B có \[\widehat C = {60^0}\]
BEC đều
EC = BC = 3 [cm]
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 [cm]
Chu vi hình thang ABCD bằng:
AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 [cm]