Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] \[{x^3}-{\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}x\];
b] \[2{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2{y^2}\];
c] \[2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}16\].
Bài giải:
a] \[{x^3}-{\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}x[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2}\]
b] \[2{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2{y^2} = {\rm{ }}2[[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1]{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}]\]
\[= {\rm{ }}2[{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}-{\rm{ }}{y^2}]\]
\[ = {\rm{ }}2\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right]\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]\]
c] \[2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}16{\rm{ }}-{\rm{ }}[{x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}]{\rm{ }}\]
\[= {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right]^2}\]
\[= [4 x + y][4 + x y]\]
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1
Chứng minh rằng \[[5n + 2]^2 4\] chia hết cho \[5\] với mọi số nguyên \[n\].
Bài giải:
Ta có : \[{[5n + 2]^2} - 4 = {[5n + 2]^2} - {2^2}\]
\[= [5n + 2 - 2][5n + 2 + 2]\]
\[= 5n[5n + 4]\]
Vìtích \[5n[5n + 4]\] có chứa \[5\] và \[n\in \mathbb Z\],
do đó \[5n[5n + 4]\] \[\vdots\] \[5\] \[n \mathbb Z\].
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] \[x^2 3x + 2\];
[Gợi ý: Ta không áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử \[-3x = - x 2x\] thì ta có \[x^2 3x + 2 = x^2 x 2x + 2\] và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thể tách \[2 = - 4 + 6\], khi đó ta có \[x^2 3x + 2 = x^2 4 3x + 6\], từ đó dễ dàng phân tích tiếp]
b] \[x^2+ x 6\];
c] \[x^2+ 5x + 6\].
Bài giải:
a] \[x^2 3x + 2 = x^2 x - 2x + 2 = x[x - 1] - 2[x - 1] \]
\[= [x - 1][x - 2]\]
Hoặc
\[x^2 3x + 2 = x^2 3x - 4 + 6\]
\[= x^2- 4 - 3x + 6\]
\[= [x - 2][x + 2] - 3[x -2]\]
\[ = [x - 2][x + 2 - 3] = [x - 2][x - 1]\]
b]\[x^2+ x 6\]
Tách \[x=3x-2x\] ta được:
\[x^2+ x 6 = x^2+ 3x - 2x 6\]
\[= x[x + 3] - 2[x + 3]\]
\[= [x + 3][x - 2]\].
c]\[x^2+ 5x + 6\]
Tách \[5x=2x+3x\] ta được:
\[x^2+ 5x + 6 = x^2+ 2x + 3x + 6\]
\[= x[x + 2] + 3[x + 2]\]
\[= [x + 2][x + 3]\]
Bài 54 trang 25 sgk toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] \[{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x\];
b] \[2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}\];
c] \[{x^4}-{\rm{ }}2{x^2}\].
Bài giải:
a] \[{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} = {\rm{ }}x[{x^2}{\rm{ }} + 2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}9]\]
\[= {\rm{ }}x[[{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}]{\rm{ }}-{\rm{ }}9]\]
\[= {\rm{ }}x[{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]^2}-{\rm{ }}{3^2}]\]
\[= {\rm{ }}x\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]\]
b] \[2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}[{x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}]\]
\[= {\rm{ }}2\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right]^2}\]
\[= {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right]\left[ {2{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right]} \right]\]
\[= [x y][2 x + y]\]
c] \[{x^4}-{\rm{ }}2{x^2} = {\rm{ }}{x^2}\left[ {{x^2} - 2} \right]{\rm{ = }}{{\rm{x}}^2}\left[ {{x^2} - {{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}} \right] \]
\[={x^2}\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right]\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 2 } \right]\].