Bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a] \[1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
b] \[\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
c] \[\left[ {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
d] \[\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{x^2}-{\rm{ }}\left[ {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] với \[m 1\].
Bài giải:
a] Phương trình \[1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Có \[a + b + c = 1,5 1,6 + 0,1 = 0\] nên \[{x_1} = 1;{x_2} = {\rm{ }}{{0,1} \over {15}} = {1 \over {150}}\]
b] Phương trình \[\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Có \[a b + c = \sqrt{3} + [1 - \sqrt{3}] + [-1] = 0\] nên \[{x_1} = - 1,{x_2} = - {{ - 1} \over {\sqrt 3 }} = {\rm{ }}{{\sqrt 3 } \over 3}\]
c] \[\left[ {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Có \[a + b + c = 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} [2 + \sqrt{3}] = 0\]
Nên \[{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{ - [2 + \sqrt 3 ]} \over {2 - \sqrt 3 }} = - {[2 + \sqrt 3 ]^2} = - 7 - 4\sqrt 3 \]
d] \[\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{x^2}-{\rm{ }}\left[ {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Có \[a + b + c = m 1 [2m + 3] + m + 4 = 0\]
Nên \[{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}\]
Bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a] \[u + v = 42\], \[uv = 441\];
b] \[u + v = -42\], \[uv = -400\];
c] \[u v = 5\], \[uv = 24\].
Bài giải:
a] \[u + v = 42\], \[uv = 441\] => \[u, v\] là nghiệm của phương trình:
\[{x^2}-{\rm{ }}42x{\rm{ }} + {\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{21^2}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}21\]
Vậy \[u = v = 21\]
b] \[u + v = -42, uv = -400\], \[u, v\] là nghiệm của phương trình:
\[{x^2} + {\rm{ }}42x{\rm{ }}-{\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} + {\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}841\]
\[\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}29;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 50\].
Do đó: \[u = 8, v = -50\] hoặc \[u = -50, v = 8\]
c] \[u v = 5, uv = 24\]. Đặt \[v = t\], ta có \[u + t = 5, ut = -24\], ta có \[u,t\] là nghiệm của phương trình: \[{x^2} - 5x - 24 = 0\]
Giải ra ta được: \[{x_1} = {\rm{ 8}},{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ - 3}}\]
Vậy \[u = 8, t = -3\] hoặc \[u = -3, t = 8\].
Do đó: \[u = 8, v = 3\] hoặc \[u = -3, t = 8\].
Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm là \[{x_1}\]và \[{x_2}\]thì tam thức \[a{x^2} + bx + c \] phân tích được thành nhân tử như sau:
\[a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a[x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}][x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}]\].
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a]\[2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\]
b] \[{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\]
Bài giải:
Biến đổi vế phải: \[a[x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}][x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}]{\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a[{x_1} + {\rm{ }}{x_2}]x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\]
\[ = a{x^2} - a\left[ { - {b \over a}} \right]x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\]
Vậy phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]có nghiệm là \[{x_1},{x_2}\]thì:
\[a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a[x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}][x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}]\].
Áp dụng:
a] Phương trình \[2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]có \[a + b + c = 2 5 + 3 = 0\] nên có hai nghiệm là \[{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\]nên:
\[2{x^2}{\rm{ + }}5x + 3 = 2[x{\rm{ - }}1][x - {\rm{ }}{3 \over 2}] = [x - 1][2x - 3]\]
b] Phương trình \[{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\]có \[a = 3, b = 8, b = 4, c = 2\].
Nên \[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\], có hai nghiệm là:
\[{x_1}\] = \[\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}\], \[{x_2}\]= \[\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\]
nên: \[3{x^2} + 8x + 2 = 3[x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3}][x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3}]\]
\[ = 3[x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3}][x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3}]\]