Câu 34 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép:
a]\[5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\]
b]\[m{x^2} - 4\left[ {m - 1} \right]x - 8 = 0\]
Giải
a] Phương trình \[5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\]có nghiệm kép khi và chỉ khi\[\Delta ' = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta ' = {m^2} - 5\left[ { - 2m + 15} \right] = {m^2} + 10m - 75 \cr
& \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 75 = 0 \cr
& \Delta 'm = {5^2} - 1.\left[ { - 75} \right] = 25 + 75 = 100 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta 'm} = \sqrt {100} = 10 \cr
& {m_1} = {{ - 5 + 10} \over 1} = 5 \cr
& {m_2} = {{ - 5 - 10} \over 1} = - 15 \cr} \]
Vậy với m = 5 hoặc m = -15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b] Phương trình \[m{x^2} - 4\left[ {m - 1} \right]x - 8 = 0\]có nghiệm kép khi và chỉ khi \[m \ne 0\]và\[\Delta ' = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - 2\left[ {m - 1} \right]} \right]^2} - m.\left[ { - 8} \right] \cr
& = 4\left[ {{m^2} - 2m + 1} \right] + 8m \cr
& = 4{m^2} - 8m + 4 + 8m \cr
& = 4{m^2} + 4 \cr
& \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 = 0 \cr} \]
Ta có \[4{m^2} \ge 0 \Rightarrow 4{m^2} + 4 \ge 0\]với mọi m
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.
Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\]có = 0. Điều nào sau đây là đúng?
A]\[{x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\]
B]\[{x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\]
C]\[{x_1} = {x_2} = - {b \over a}\]
D]\[{x_1} = {x_2} = - {{b'} \over {2a}}\]
Giải
Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\]có = 0
Chọn B:\[{x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\]
Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \[\left[ {{b^2} + {c^2}} \right]{x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\]có nghiệm.
Giải
Phương trình \[\left[ {{b^2} + {c^2}} \right]{x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\]có nghiệm khi và chỉ khi \[{b^2} + {c^2} \ne 0\]và\[\Delta ' \ge 0\]
\[{b^2} + {c^2} \ne 0\]suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
\[\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - ac} \right]^2} - \left[ {{b^2} + {c^2}} \right]\left[ {{a^2} - {b^2}} \right] \cr
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left[ { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] \cr
& \Delta ' \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left[ { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] \ge 0 \cr} \]]
Vì\[{b^2} \ge 0 \Rightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\]
Vậy với \[{a^2} \le {b^2} + {c^2}\]thì phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng phương trình \[\left[ {x - a} \right]\left[ {x - b} \right] + \left[ {x - b} \right]\left[ {x - c} \right] + \left[ {x - c} \right]\left[ {x - a} \right] = 0\] luôn có nghiệm.
Giải
\[\eqalign{
& \left[ {x - a} \right]\left[ {x - b} \right] + \left[ {x - b} \right]\left[ {x - c} \right] + \left[ {x - c} \right]\left[ {x - a} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left[ {a + b + c} \right]x + ab + bc + ac = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ {a + b + c} \right]^2} - 3\left[ {ab + bc + ac} \right] \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc - 3ab - 3ac - 3bc \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \cr
& = {1 \over 2}\left[ {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right] + \left[ {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right] + \left[ {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right]} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {{{\left[ {a - b} \right]}^2} + {{\left[ {b - c} \right]}^2} + {{\left[ {a - c} \right]}^2}} \right] \cr} \]
Ta có:\[{\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0;{\left[ {b - c} \right]^2} \ge 0;{\left[ {a - c} \right]^2} \ge 0\]
Suy ra:\[{\left[ {a - b} \right]^2} + {\left[ {b - c} \right]^2} + {\left[ {a - c} \right]^2} \ge 0\]
\[\Rightarrow \Delta ' = {1 \over 2}\left[ {{{\left[ {a - b} \right]}^2} + {{\left[ {b - c} \right]}^2} + {{\left[ {a - c} \right]}^2}} \right] \ge 0\]
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.