Bài 88 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng:
\[{\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a.\]
Giải
Ta có: \[{\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a.\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_a}\left[ {b + c} \right]}} + {1 \over {{{\log }_a}\left[ {c - b} \right]}} \cr&\;\;\;= {2 \over {{{\log }_a}\left[ {b + c} \right].{{\log }_a}\left[ {c - b} \right]}} \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {c - b} \right] + {\log _a}\left[ {b + c} \right] = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {c - b} \right]\left[ {b + c} \right] = 2 \cr
& \Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} \cr} \]
Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có \[{a^2} + {b^2} = {c^2}\] từ đó suy ra đpcm.
Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Chứng minh rằng hàm số\[y = \ln {1 \over {1 + x}}\]thỏa mãn hệ thức \[xy' + 1 = {e^y}\]
Giải
Điều kiện: \[x > -1\]. Ta có \[y = - \ln \left[ {1 + x} \right] \Rightarrow y' = - {1 \over {1 + x}}\]
Khi đó: \[xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1 = {1 \over {1 + x}} = {e^{\ln {1 \over {1 + x}}}} = {e^y}\]
Vậy \[xy' + 1 = {e^y}\]
Bài 90 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Giả sử đồ thị [G] của hàm số \[y = {{{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^x}} \over {\ln 2}}\]cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của [G] tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB [chính xác đến hàng phần nghìn].
Giải
\[x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\]
Tọa độ điểm \[A\left[ {0;{1 \over {\ln 2}}} \right]\].
Vậy \[OA = {1 \over {\ln 2}}\]
Ta có \[y' = {{{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left[ {\sqrt 2 } \right]^x} \Rightarrow y'\left[ 0 \right] = {1 \over 2}\]
Phương trình tiếp tuyến tại A là: \[y - {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}x \Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}\]
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành \[B\left[ { - {2 \over {\ln 2}};0} \right]\] suy ra \[OB = {2 \over {\ln 2}}\]
Vậy \[{S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB = {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\]
Bài 91 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số \[y = {\log _a}x\]. Trong hai khẳng định \[a > 1\] và \[0 < a < 1\], khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?
a] M có tọa độ [0,5; -7]; b] M có tọa độ [0,5; 7];
c] M có tọa độ [3; 5,2]; d] M có tọa độ [3; -5,2].
Giải
Gọi [C] là đồ thị hàm số \[y = {\log _a}x\]
a] \[M \in \left[ C \right]\]nên \[{\log _a}0,5 = - 7 \Leftrightarrow {1 \over 2} = {a^{ - 7}} \Leftrightarrow {a^7} = 2 \Leftrightarrow a = \root 7 \of 2 \]
Vậy a > 1
b] \[M\left[ {0,5;7} \right] \in \left[ C \right]\] nên \[{\log _a}0,5 = 7 \Leftrightarrow {1 \over 2} = {a^7} \Leftrightarrow {a^7} = {1 \over 2} \Leftrightarrow a = \root 7 \of {{1 \over 2}} \]
Vậy \[0 < a < 1\]
c] \[M\left[ {3;5,2} \right] \in \left[ C \right]\] nên \[{\log _a}3 = 5,2 \Leftrightarrow {a^{5,2}} = 3 \Leftrightarrow a = {3^{{1 \over {5,2}}}} > 1\]
Vậy a > 1
d] \[M\left[ {3; - 5,2} \right] \in \left[ C \right]\]nên \[{\log _a}3 = - 5,2 \Leftrightarrow {a^{ - 5,2}} = 3 \Leftrightarrow {a^{5,2}} = {1 \over 3} \Leftrightarrow a = {1 \over {{3^{5,2}}}}\]
Vậy \[0 < a < 1\]