Bài 4 trang 140 sgk giải tích 12
Cho \[a, b, c \in \mathbb R\], \[a \ne 0\], \[z_1\] và \[z_2\] là hai nghiệm của phương trình \[a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Hãy tính \[{z_1} + {z_2}\]và\[{z_1} {z_2}\]theo các hệ số \[a, b, c\].
Giải
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
+] Trường hợp \[ 0\] ta đã biết kết quả theo định lí vi-ét.
+] Trường hợp \[ < 0\], từ công thức nghiệm
\[{z_1}= \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\], \[{z_2}= \frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\]với \[|| = 4ac - b^2\]
\[{z_1} + {z_2}\]=\[ \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\]
\[{z_1} {z_2}= \frac{[-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}][-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}]}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\]
Bài 5 trang 140 sgk giải tích 12
Cho \[z = a + bi\] là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \[z\] và\[ \overline{z}\]làm nghiệm
Giải
Một phương trình bậc hai nhận \[z\] và\[ \overline{z}\]làm nghiệm là
\[[x - z][x - \overline{z}]= 0\] hay \[x^2-[z + \overline{z}]x + z \overline{z}= 0\].
Nếu \[z = a + bi\] thì \[z + \overline{z}= 2a\], \[z\overline{z} = a^2+b^2\]
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \[{x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\]