Câu 4.21 trang 207 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
a] Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi \[z = \bar z\]
b] Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: \[z = - {{3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}\]
Hướng dẫn làm bài
a] Hiển nhiên \[z \in R\]thì \[z = \bar z\]. Ngược lại, giả sử z = a + bi và \[z = \bar z\]. Từ đó suy ra
a + bi = a bi và do đó b = - b hay b = 0.
Vậy\[z \in R\]
b] Ta có \[z = {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}\],
suy ra \[\bar z = \overline {[{{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}]} = \overline {[{{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}}]} + \overline {[{{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}]} \]\[= \overline {{{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}}} + \overline {{{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}} = {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}} + {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} = z\]
Vậy\[z \in R\].
Câu 4.22 trang 207 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tìm nghịch đảo của số phức sau:
a] \[\sqrt 2 - i\sqrt 3 \]
b] i
c] \[{{1 + i\sqrt 5 } \over {3 - 2i}}\]
d] \[{[3 + i\sqrt 2 ]^2}\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{1 \over {\sqrt 2 - i\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2 + i\sqrt 3 } \over 5} = {{\sqrt 2 } \over 5} + {{\sqrt 3 } \over 5}i\]
b] \[{1 \over i} = - i\]
c] \[{{3 - 2i} \over {1 + i\sqrt 5 }} = {{[3 - 2i][1 - i\sqrt 5 ]} \over 6} = {{3 - 2\sqrt 5 } \over 6} - {{3\sqrt 5 + 2} \over 6}i\]
d] \[{1 \over {{{[3 + i\sqrt 2 ]}^2}}} = {{{{[3 - i\sqrt 2 ]}^2}} \over {121}} = {7 \over {121}} - {{6\sqrt 2 } \over {121}}i\]
Câu 4.23 trang 208 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Giải phương trình sau trên tập số phức:
\[[1 i]z + [2 i] = 4 5i\]
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011]
Hướng dẫn làm bài
\[\eqalign{
& \left[ {1 - i} \right]z + \left[ {2 - i} \right] = 4 - 5i \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - i} \right]z = 4 - 5i - 2 + i \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - i} \right]z = 2 - 4i \cr
& \Leftrightarrow t = {{2 - 4i} \over {1 - i}} \cr
& = {{\left[ {2 - 4i} \right]\left[ {1 + i} \right]} \over {1 + 1}} = {{2 + 2i + 4i + 4} \over 2} = 3 - i \cr} \]
Câu 4.24 trang 208 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tìm các số phức \[2z + \bar z\] và \[{{25i} \over z}\] biết rằng z = 3 4i
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012]
Hướng dẫn làm bài
\[\eqalign{
& 2z + \bar z = 2\left[ {3 - 4i} \right] + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 8i + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9 - 4i \cr} \]
\[\eqalign{
& {{25i} \over z} = {{25i} \over {\left[ {3 - 4i} \right]}} \cr
& = {{25i\left[ {3 + 4i} \right]} \over {\left[ {3 - 4i} \right]\left[ {3 + 4i} \right]}} \cr
& = {{75i + 100{i^2}} \over {{3^2} - {{\left[ {4i} \right]}^2}}} \cr
& = {{75i - 100} \over {25}} = 3i - 4 \cr} \]