Câu 4.25 trang 209 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức là \[\pm i\sqrt {|a|} \]
Hướng dẫn làm bài
Giả sử z là một căn bậc hai của a, ta có z2= a. Vì a < 0 nên:
\[a = - |a| = - {[\sqrt {|a|} ]^2}\]
Từ đó suy ra:
\[{z^2} = - {[\sqrt {|a|} ]^2}\]
\[\Rightarrow{z^2} + {[\sqrt {|a|} ]^2} = 0\]
\[\Rightarrow[z + i\sqrt {|a|} ][z - i\sqrt {|a|} ] = 0\]
Vậy \[z = i\sqrt {|a|} \] hay \[z = - i\sqrt {|a|} \].
Câu 4.26 trang 210 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a] 2x2+ 3x + 4 = 0
b] 3x2+ 2x + 7 = 0
c] 2x4+ 3x2 5 = 0
Hướng dẫn làm bài
a] \[{x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {23} } \over 4}\]
b] \[{x_{1,2}} = {{ - 1 \pm 2i\sqrt 5 } \over 3}\]
c] \[{x_{1,2}} = \pm 1;{x_{3,4}} = \pm i\sqrt {{5 \over 2}} \].
Câu 4.27 trang 210 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Biết z1và z2là hai nghiệm của phương trình \[2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\]. Hãy tính:
a] \[z_1^2 + z_2^2\] b] \[z_1^3 + z_2^3\]
c] \[z_1^4 + z_2^4\] d] \[{{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}\]
Hướng dẫn làm bài
Ta có: \[{z_1} + {z_2} = - {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}\] . Từ đó suy ra:
a] \[z_1^2 + z_2^2 = {[{z_1} + {z_2}]^2} - 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} - 3 = - {9 \over 4}\]
b] \[z_1^3 + z_2^3 = [{z_1} + {z_2}][z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2]\]
\[= - {{\sqrt 3 } \over 2}[ - {9 \over 4} - {3 \over 2}] = {{15\sqrt 3 } \over 8}\]
c] \[z_1^4 + z_2^4 = [z_1^2 + z_2^2] - 2z_1^2.z_2^2 = {[ - {9 \over 4}]^2} - 2.{[{3 \over 2}]^2} = {9 \over {16}}\]
d] \[{{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ - {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} = - {3 \over 2}\].
Câu 4.28 trang 210 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và \[\bar z\]là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số phức.
Hướng dẫn làm bài
Nếu z = a + bi thì \[z + \bar z = 2a \in R;z.\bar z = {a^2} + {b^2} \in R\]
z và \[\bar z\] là hai nghiệm của phương trình \[[x - z][x - \bar z] = 0\]
\[ \Leftrightarrow{x^2} - [z + \bar z]x + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow{x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\]