Câu 5 trang 62 SGK Hình học 10
Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính \[\cos A, \cos B , \cos C\] theo các cạnh của tam giác.
Trả lời:
Định lí cosin: Trong tam giác \[ABC\] ta có:
\[\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} \Rightarrow \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} \cr
& {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.{\mathop{\rm cosB}\nolimits} \Rightarrow {\mathop{\rm cosB}\nolimits} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over {2ca}} \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.{\mathop{\rm cosC}\nolimits} \Rightarrow {\mathop{\rm cosC}\nolimits} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \cr} \]
Câu 6 trang 62 SGK Hình học 10
Từ hệ thức \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\]trong tam giá, hãy suy ra định lí Py-ta-go.
Trả lời:
$${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA$$
Khi góc \[A = 90^0\], suy ra\[\cos A = 0\]
Do đó ta có: \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\][định lí Py-ta-go]
Câu 7 trang 62 SGK Hình học 10
Chứng minh rằng với mọi tam giác \[ABC\], ta có \[a = 2R\sin A; b = 2R\sin B ; c = 2R\sin C\], trong đó \[R\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Trả lời:
Ta sử dụng định lí sin: \[{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R\]
Từ đó suy ra: \[a = 2R\sin A; b = 2R\sin B; c = 2R\sin C\]
Câu 8 trang 62 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng:
a] Góc \[A\] nhọn khi và chỉ khi \[{a^2} < {b^2} + {c^2}\]
b] Góc \[A\] tù khi và chỉ khi \[{a^2} > {b^2} + {c^2}\]
c] Góc \[A\] vuông khi và chỉ khi \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]
Trả lời:
Theo hệ quả định lí cosin: \[{\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\]. Khi đó:
a] \[{a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Leftrightarrow \cos A > 0\]
Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy \[\cos A > 0\] khi và chỉ khi \[A\] là góc nhọn.
Vậy góc \[A\] nhọn khi và chỉ khi\[{a^2} < {b^2} + {c^2}\]
b] \[{a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow \cos A < 0\]
Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy \[\cos A < 0\] khi và chỉ khi \[A\] là góc tù.
Vậy góc \[A\] tù khi và chỉ khi\[{a^2} > {b^2} + {c^2}\]
c] Theo định lí Py-ta-go thì: \[{a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow \] góc \[A\] là góc vuông.