Bài 5 trang 133 sgk đại số 11
Cho hàm số \[f[x] = \frac{x+2}{x^{2}-9}\]có đồ thị như trên hình 53.
a] Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \[x -\], \[x 3^-\] và \[x -3^+\]
b] Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\[\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f[x]\] với \[f[x]\] được xét trên khoảng \[[-\infty; -3]\],
\[\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f[x]\] với \[f[x]\] được xét trên khoảng \[[-3,3]\],
\[\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f[x]\] với \[f[x]\] được xét trên khoảng \[[-3; 3]\].
Hướng dẫn giải
a] Quan sát đồ thị ta thấy \[x -\] thì \[f[x] 0\]; khi \[x 3^-\]thì \[f[x] -\];
khi \[x -3^+\]thì \[f[x] +\].
b]\[\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} f[x] = \underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\]\[\frac{x+2}{x^{2}-9}\]=\[\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\]\[\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1-\frac{9}{x^{2}}} = 0\].
\[\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} f[x] = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\]\[\frac{x+2}{x^{2}-9}\]=\[\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\]\[\frac{x+2}{x+3}.\frac{1}{x-3} = - \] vì\[\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\]\[\frac{x+2}{x+3}\]=\[\frac{5}{6} > 0\] và\[\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \frac{1}{x-3} = -\].
\[\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f[x] =\] \[\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\]\[\frac{x+2}{x^{2}-9}\]=\[\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\]\[\frac{x+2}{x-3}\].\[\frac{1}{x+3} = +\]
vì\[\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\]\[\frac{x+2}{x-3}\]=\[\frac{-1}{-6}\]=\[\frac{1}{6} > 0\] và\[\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\]\[\frac{1}{x+3} =+\].
Bài 6 trang 133 sgk đại số 11
Tính:
\[\eqalign{
& a]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [{x^4} - {x^2} + x - 1] \cr
& b]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - 2{x^3} + 3{x^2} - 5] \cr
& c]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [\sqrt {{x^2} - 2x + 5}] \cr
& d]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 - 2x}} \cr} \]
Giải:
\[\eqalign{
& a]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [{x^4} - {x^2} + x - 1] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left[ {1 - {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} - {1 \over {{x^4}}}} \right] = + \infty \cr
& b]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - 2{x^3} + 3{x^2} - 5] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left[ { - 2 + {1 \over x} - {5 \over {{x^2}}}} \right] = + \infty \cr
& c]\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [\sqrt {{x^2} - 2x + 5} ] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } |x|\sqrt {1 - {2 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} = + \infty \cr
& d]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left[ {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right]} \over {5 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left[ {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right]} \over {{5 \over x} - 2}} = - 1 \cr} \]
Bài 7 trang 133 sgk đại số 11
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \[f\]. Gọi \[d\] và \[d'\] lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \[AB\] và từ ảnh \[A'B'\] của nó tới quang tâm \[O\] của thấu kính [h.54]. Công thức thấu kính là\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}.\]
a] Tìm biểu thức xác định hàm số \[d' =φ[d]\].
b] Tìm\[\underset{d\rightarrow f^{+} }{\lim} φ[d]\],\[\underset{d\rightarrow f^{-} }{\lim} φ[d]\] và\[\underset{d\rightarrow +\infty }{\lim} φ[d]\]. Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.
Giải:
a] Từ hệ thức\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}.\]suy ra \[d' =φ[d] = \frac{fd}{d-f}\].
b]
+]\[\underset{d\rightarrow f^{+} }{lim} φ[d] = \underset{d\rightarrow f^{+} }{lim}\]\[\frac{fd}{d-f}= +\] .
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.
+]\[\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}φ[d] =\] \[\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}\]\[\frac{fd}{d-f} = -\].
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực.
+]\[\underset{d\rightarrow +\infty }{lim} φ[d] =\] \[\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{fd}{d-f}\]=\[\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}\]\[\frac{f}{1-\frac{f}{d}} = f\].
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh [mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính].