Câu 51 trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC với ba đường cao AA, BB, CC. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.
Chứng minh rằng \[{{HA'} \over {AA'}} + {{HB'} \over {BB'}} + {{HC'} \over {CC'}} = 1\]
Giải:
\[\eqalign{ & {S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}} \cr & \Rightarrow {{{S_{HBC}}} \over {{S_{ABC}}}} + {{{S_{HABC}}} \over {{S_{ABC}}}} + {{{S_{HAB}}} \over {{S_{ABC}}}} = 1 \cr} \]
Suy ra: \[{{HA'.BC} \over {AA'.BC}} + {{HB'.AC} \over {BB'.AC}} + {{HC'.AB} \over {CC'.AB}} = 1\]
\[ \Rightarrow {{HA'} \over {AA'}} + {{HB'} \over {BB'}} + {{HC'} \over {CC'}} = 1\]
Câu 52 trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC
a. Tính tỉ số các đường cao BB và CC xuất phát từ các đỉnh B và C
b. Tại sao nếu AB < AC thì BB < CC ?
Giải:
a. \[{S_{ABC}} = {{BB'.AC} \over 2} = {{CC'.AB} \over 2}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow BB'.AC = CC'.AB \cr & \Rightarrow {{BB'} \over {CC'}} = {{AB} \over {AC}} \cr} \]
b. Nếu AB < AC \[ \Rightarrow {{AB} \over {AC}} < 1\]
\[ \Rightarrow {{BB'} \over {CC'}} < 1 \Rightarrow BB' < CC'\]
Câu 53 trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng \[l\] cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \[l\] theo a và b [a và b có cùng đơn vị đo]
Giải:
Gọi h1và h2là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng\[l\];
Tổng khoảng cách là S. Vì O là tâm đối xứng của hình vuông.
OM = ON [tính chất đối xứng tâm]
Suy ra: AM = CN
\[\widehat {AMP} = \widehat {DNS}\] [đồng vị]
\[\widehat {DNS} = \widehat {CNR}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}\]
Suy ra: APM = CRN [cạnh huyền, góc nhọn]
CR = AP = h2
AM = CD BM = DN
\[\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}\] [so le trong]
Suy ra: BQM = DSN [cạnh huyền, góc nhọn] DS = BQ = h1
\[\eqalign{ & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{AOB}} = {1 \over 4}{a^2}[1] \cr & {S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} = {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} = {b \over 4}\left[ {{h_1} + {h_2}} \right][2] \cr} \]
Từ [1] và [2]: ${h_1} + {h_2} = {{{a^2}} \over b}\]
\[S = 2\left[ {{h_1} + {h_2}} \right] = {{2{a^2}} \over b}\]