Bài 58 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:
\[x^2+ x + a = 0\] và \[x^2+ ax + 1 = 0\]
Giải
Giả sử \[{x_0}\]là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:
\[{x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] [1]
\[{x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] [2]
Lấy [1] trừ [2] ta có:
\[[1 - a]{x_0} + a - 1 = 0 \Leftrightarrow [1 - a][{x_0} - 1] = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\]
Với \[{x_0}= 1 a = -2\]
Với \[a = 1\] thì \[{x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\][vô nghiệm]
Với \[a = -2\] hai phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]và \[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]có nghiệm chung là \[x = 1\]
Vậy \[a = -2\]
Bài 59 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho các phương trình:
\[x^2+ 3x - m + 1 = 0\] [1]và \[2x^2-x + 1 - 2p = 0\] [2]
a] Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.
b] Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.
Giải
a]
* Xét phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Ta có: [1] \[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }}\]
Gọi [d] là đường thẳng \[y = m\].
Đồ thị hàm số \[y = x^2+3x + 1\] là parabol [P] có đỉnh là điểm \[[-1,5; -1,25]\] và hướng bề lõm lên trên.
Do đó:
+ Khi \[m < -1, 25\] thì [d] không cắt [P], phương trình vô nghiệm.
+ Khi \[m = -1,25\] thì [d] và [P] có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
+ Khi \[m > -1,25\] thì [d] cắt [P] tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
* Xét phương trình \[2x^2-x + 1 2p = 0\] [2]
[2] \[ 2x^2 x + 1 = 2p\]
Gọi [d] là đường thẳng \[y = 2p\]; [P] là parabol \[y = 2x^2 x + 1 \]
Parabol [P] có đỉnh tại điểm: \[[{1 \over 4};\,{7 \over 8}]\]và hướng bề lõm lên trên.
Do đó:
+ Nếu \[2p < {7 \over 8}\], tức là \[p < {7 \over {16}}\]thì [d] không cắt [P], phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \[2p = {7 \over 8}\], tức là \[p = {7 \over {16}}\]thì [d] và [P] có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
+ Nếu \[2p > {7 \over 8}\], tức là \[p > {7 \over {16}}\]thì [d] cắt [P] tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm.
Bài 60 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các hệ phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
2{[x + y]^2} - xy = 1 \hfill \cr
{x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Đặt \[S = x + y; P = xy\]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr
{S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} - P = 7 \hfill \cr
{S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right.\]
+ Với \[S = 3; P = 2\] thì x, y là nghiệm của phương trình:
\[{X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
X = 2 \hfill \cr} \right.\]
Ta có nghiệm \[[1, 2]; [2, 1]\]
+ Với \[S = -3, P = 2\], ta có nghiệm \[[-1, -2]; [-2, -1]\]
Vậy hệ có 4 nghiệm là: \[[1, 2]; [2, 1]; [-1, -2]; [-2, -1]\]
b] Đặt \[S = x + y; P = xy\], ta có:
\[\left\{ \matrix{
2{S^2} - P = 1 \hfill \cr
SP = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = 0 \hfill \cr
P = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right.\]
+ Với \[S = 0; P = -1\] thì x, y là nghiệm phương trình
\[{X^2} 1 = 0 X = ± 1\], ta có nghiệm \[[1, -1]; [-1, 1]\]
+ Với \[S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\], ta có nghiệm: \[[0,\,{1 \over {\sqrt 2 }}];\,[{1 \over {\sqrt 2 }},0];\,[0,\, - {1 \over {\sqrt 2 }}];\,[ - {1 \over {\sqrt 2 }},0]\]
Bài 61 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận các hệ phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
mx + 3y = m - 1 \hfill \cr
2x + [m - 1]y = 3 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
5x + [a - 2]y = a \hfill \cr
[a + 3]x + [a + 3]y = 2a \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Ta có:
+ Với \[m 3\] và \[m 2\] hệ có nghiệm duy nhất \[[x, y]\]
Với \[x = {{m - 4} \over {m - 3}};\,y = {1 \over {m - 3}}\]
+ Với \[m = 3\]: hệ vô nghiệm [do Dy = 5 0]
+ Với \[m = -2\] hệ thành
\[\left\{ \matrix{
- 2x + 3y = - 3 \hfill \cr
2x - 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {1 \over 3}[2x - 3]\]
Hệ có vô số nghiệm
b] Ta có:
+ Với \[a -3\] và \[a 7\] hệ có nghiệm duy nhất \[[x, y]\] với \[x = y = {a \over {a + 3}}\]
+ Với \[a=-3\]
+ Với \[a = 7\], hệ thành
\[\left\{ \matrix{
5x + 5y = 7 \hfill \cr
10x + 10y = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - x + {7 \over 5}\]
Hệ có vô số nghiệm \[\left[ {x;{7 \over 5} - x} \right],\,x \in\mathbb R\]