Bài 61 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a] \[y = \sqrt {[2x + 5][1 - 2x]} \]
b] \[y = \sqrt {{{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}}} \]
Đáp án
a] Hàm số đã cho xác định
\[ [2x + 5][1 2x] 0\]
\[ \Leftrightarrow - {5 \over 2} \le x \le {1 \over 2}\]
Vậy tập xác định \[D = {\rm{[}} - {5 \over 2},{1 \over 2}{\rm{]}}\]
b] Hàm số đã cho xác định:
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow {{[x + 1][x + 4]} \over {[x + 1][2x + 1]}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
{{x + 4} \over {2x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy tập xác định của hàm số là: \[S = [ - \infty , - 4{\rm{]}} \cup [ - {1 \over 2}, + \infty ]\]
Bài 62 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các hệ bất phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr
{x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right.\]
c]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 9 < 0 \hfill \cr
[x - 1][3{x^2} + 7x + 4] \ge 0 \hfill \cr} \right.\]
Đáp án
a] Ta có:
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr
{x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 7 \hfill \cr
2 \le x \le 5 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow 2 \le x \le 5\]
Vậy \[S = [2, 5]\]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < {{ - 9 - \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr
x > {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 3 \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} < x < 2 \cr} \]
Vậy \[S = [{{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4};2{\rm{]}}\]
c] Ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} - 9 < 0 \hfill \cr
[x - 1][3{x^2} + 7x + 4] \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3 < x < 3 \hfill \cr
\left[ \matrix{
- {4 \over 3} \le x \le - 1 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- {4 \over 3} \le x \le - 1 \hfill \cr
1 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \,{\rm{[}} - {4 \over 3},\, - 1{\rm{]}}\, \cup {\rm{[}}1,\,3]\]
Bài 63 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:
\[ - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\]
Đáp án
Vì 2x2 3x + 3 > 0 x R [do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0]
Nên:
\[\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a < \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;7[2{x^2} - 3x + 2] \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0 \hfill \cr
13{x^2} - 26x - a + 14 > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1] \cr} \]
Hệ [1] tương đương với mọi x:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta {'_1} = 1 - 3[a + 2] \le 0 \hfill \cr
\Delta {'_2} = 169 - 13[14 - a] < 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3a \ge - 5 \hfill \cr
13a < 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {5 \over 3} \le a < 1\]
Bài 64 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr
[m + 1]x \ge 3 \hfill \cr} \right.\]
Đáp án
Ta có: x2 + 2x 15 < 0 -5 < x < 3
Ta xét bất phương trình: [m + 1]x 3 [*]
+ Nếu m = -1 thì S = Ø
+ Nếu m > -1 thì: \[[*] \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\]
Hệ có nghiệm:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over {m + 1}} < 3 \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 0 \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 0\]
+ Nếu m < -1 thì \[[*] \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\]
Hệ có nghiệm:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over {m + 1}} > - 5 \hfill \cr
m + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3 < - 5m - 5 \hfill \cr
m < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {8 \over 5}\]
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\]