Câu 70 trang 50 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Giải
ABC vuông tại B => \[AB \bot BC\]nên AB là đường cao từ đỉnh A.
\[ \Rightarrow CB \bot AB\]nên CB là đường cao kẻ từ đỉnh C.
B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB. Vậy B là trực tâm của ABC.
Câu 71 trang 50 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hình bên.
a] Chứng minh rằng: \[CI \bot AB.\]
b] Cho \[\widehat {ACB} = 40^\circ \]. Tính \[\widehat {BI{\rm{D}}},\widehat {DIE}\]
Giải
a] Trong ABC ta có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ABC
\[ \Rightarrow \]CI là đường cao thứ ba
Vậy \[CI \bot AB\]
b] Trong tam giác vuông BEC có
\[\widehat {BEC} = 90^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat C = 90^\circ \][tính chất tam giác vuông]
\[\Rightarrow \widehat {EBC} = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]hay \[\widehat {IB{\rm{D}}} = 50^\circ \]
Trong tam giác IDB có \[\widehat {I{\rm{DB}}} = 90^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {IB{\rm{D}}} + \widehat {BI{\rm{D}}} = 90^\circ \][tính chất tam giác vuông]
\[\Rightarrow \widehat {BI{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {IB{\rm{D}}} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \]
\[\widehat {BI{\rm{D}}} + \widehat {DIE} = 180^\circ \][2 góc kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {DIE} = 180^\circ - \widehat {BI{\rm{D}}} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]
Câu 72 trang 51 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.
Giải
Trong ABC ta có H là trực tâm nên
\[AH \bot BC,BH \bot AC,CH \bot AB\]
Trong AHB ta có:
\[\eqalign{
& AC \bot BH \cr
& BC \bot AH \cr} \]
Hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C.
Vậy C là trực tâm của AHB.
Trong HAC ta có:
\[\eqalign{
& BA \bot CH \cr
& CB \bot BH \cr} \]
Hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B, Vậy B là trực tâm của HAC.
Trong HBC ta có:
\[\eqalign{
& BA \bot HC \cr
& CA \bot BH \cr} \]
Hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A. Vậy A là trực tâm của HBC.
Câu 73 trang 51 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác cân đó là tam giác cân.
Giải
Xét hai tam giác vuông BDC và CEB:
\[\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {CEB} = 90^\circ \]
BD = CE [gt]
BC cạnh huyền chung
Do đó: BDC = CEB [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat {DCB} = \widehat {EBC}\]
Hay \[\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\]
Vậy ABC cân tại A.