Câu 84 trang 120 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho
AD = DE = EC.
a] Chứng minh: \[{{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\]
b] Chứng minh BDE đồng dạng CDB
c] Tính tổng \[\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\] bằng hai cách
Cách 1:sử dụng kết quả ở câu b];
Cách 2:Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.
Gợi ý làm bài
a]Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:
\[B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\]
Suy ra: \[BD = a\sqrt 2 \]
Ta có:
\[\eqalign{
& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \]
Vậy \[{{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\]
b] Xét BDE và CDB, ta có:
\[{{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\,[1]\]
\[\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\,[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra BDE đồng dạng CDB.
c] *Cách 1:
Ta có: BDE đồng dạng CDE\[\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\]
Mặt khác:
\[\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\,[3]\]
Trong BCD, ta có:
\[\widehat {ADB} = \widehat {CBD} = \widehat {BCD}\][tính chất góc ngoài] [4]
\[\widehat {ADB} = 45^\circ \][vì ABD vuông cân tại A] [5]
Từ [3], [4] và [5] suy ra: \[\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \]
* Cách 2:
Trong tam giác ABC, ta có:
\[tg\widehat {AEB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\]
Suy ra: \[\widehat {AEB} = 26^\circ 34'\]
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[tg\widehat {ACB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\]
Suy ra: \[\widehat {ACB} = 18^\circ 26'\]
Vậy: \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \]
Câu 85 trang 120 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
[h.31] Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m.
Gợi ý làm bài
Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh của một tam giác cân. Chiều cao cảu mái nhà chia góc ở đỉnh ra thành hai phần bằng nhau.
Ta có:
\[\cos {\alpha \over 2} = {{AH} \over {AB}} = {{0,8} \over {2,34}} \approx 0,4319\]
Suy ra: \[{\alpha \over 2} = 70^\circ \]
Vậy \[\alpha = 140^\circ \].
Câu 86 trang 120 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình 32.
Biết:
\[AD \bot DC,\widehat {DAC} = 74^\circ \]
\[\widehat {AXB} = 123^\circ ,AD = 2,8\,cm\]
AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.
a]Tính AC.
b]Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY BX. Hãy tính XY
c]Tính diện tích tam giác BCX
Gợi ý làm bài
a]Trong tam giác vuông ACD, ta có:
\[AC = {{AD} \over {\cos \widehat {CAD}}} = {{2,8} \over {\cos 74^\circ }} \approx 10,158\,[cm]\]
b] Kẻ \[DN \bot AC\]
Trong tam giác vuông AND, ta có:
\[\eqalign{
& DN = AD.\sin \widehat {DAN} \cr
& = 2,8.\sin 74^\circ \approx 2,692\,[cm] \cr} \]
\[\eqalign{
& AN = AD.\cos \widehat {DAN} \cr
& = 2,8.\cos 74^\circ \approx 0,772\,[cm] \cr} \]
Vì BX // DY nên \[\widehat {D{\rm{YX}}} = \widehat {BXY} = 123^\circ \] [ hai góc so le trong]
Mà \[\widehat {DYN} + \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ \] [kề bù]
Suy ra:
\[\widehat {DYN} = 180^\circ - \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \]
Trong tam giác vuông DYN, ta có:
\[\eqalign{
& NY = DN.\cot g\widehat {DYN} \cr
& \approx 2,692.\cot g57^\circ \approx 1,748\,[cm] \cr} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& XY = AX - [AN + NY] \cr
& = 5,5 - [0,772 + 1,748] = 2,98\,[cm] \cr} \]
c] Ta có:
\[CX = AC - AX \approx 10,158 - 5,5 = 4,658\,[cm]\]
Kẻ \[BM \bot CX\]
Ta có:
\[\widehat {BXC} = 180^\circ - \widehat {BXA} = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \]
Trong tam giác vuông BMX, ta có:
\[\eqalign{
& BM = BX.\sin \widehat {BXC} \cr
& = 4,1.\sin 57^\circ \approx 3,439\,[cm] \cr} \]
\[\eqalign{
& {S_{BCX}} = {1 \over 2}BM.CX \cr
& = {1 \over 2}.3,439.4,658 = 8,009\,\left[ {c{m^2}} \right]. \cr} \]
Câu 87 trang 120 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC có \[\hat A = 20^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,AB = 60cm\].Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. [h.33].
Hãy tìm:
a] AP, BP;
b] CP.
Gợi ý làm bài
a]Trong tam giác vuông ACP, ta có:
\[AP = CP.\cot g\widehat {PAC}\,[1]\]
Trong tam giác vuông BCP, ta có:
\[BP = CP.\cot g\widehat {PBC}\,[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[[AP + BP] = CP.\cot g\widehat {PAC} + CP.\cot g\widehat {PBC}\]
Hay \[AB = CP[\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC}]\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& CP = {{AB} \over {\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC}}} \cr
& = {{AB} \over {\cot g20^\circ + \cot g30^\circ }} \approx 13,394\,[cm] \cr} \]
b] Thay CP = 13,394 vào [1] ta có:
\[AP = 13,394.\cot g20^\circ \approx 36,801\,[cm]\]
Thay CP = 13,394 vào [2] ta có:
\[BP = 13,394.\cot g30^\circ \approx 27,526\,[cm]\]