Bài 84 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình sau
a] \[|x^2 2x 3| = 2x + 2\]
b] \[\sqrt {{x^2} - 4} = 2[x - \sqrt 3 ]\]
Đáp án
a] Điều kiện: \[x -1\]. Ta có:
\[\eqalign{
& \left| {{x^2}-2x-3} \right| = 2x + {\rm{ }}2\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2}-2x-3 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2}-2x-3 = - 2x - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 4x - 5 = 0 \hfill \cr
{x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,x = 5 \hfill \cr
x = \pm 1 \hfill \cr} \right. [\text{nhận}]\cr} \]
Vậy S = {-1, 1, 5}
b] Ta có:
\[\sqrt {{x^2} - 4} = 2[x - \sqrt 3 ]\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge \sqrt 3 \hfill \cr
{x^2} - 4 = 4[{x^2} - 2\sqrt 3 + 3] \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge \sqrt 3 \hfill \cr
3{x^2} - 8\sqrt 3 + 16 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}{{4\sqrt 3 } \over 3}{\rm{\} }}\]
Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
a] \[\sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le x - 4\]
b] \[[x - 2]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\]
c] \[\sqrt {{x^2} - 8x} \ge 2[x + 1]\]
d] \[\sqrt {x[x + 3]} \le 6 - {x^2} - 3x\]
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le x - 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr
x - 4 \le 0 \hfill \cr
{x^2} - 4x - 12 \le {[x - 4]^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge 4 \hfill \cr
4x \le 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7 \cr} \]
Vậy \[S = [6, 7]\]
b] Ta có:
\[[x - 2]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\]
\[\Leftrightarrow [x - 2][\sqrt {{x^2} + 4} - x - 2] \le 0\]
+ Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình
+ Với x > 2, ta có:
\[[x - 2]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 4 \le {[x + 2]^2} \Leftrightarrow x \ge 0\]
Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.
+ Với x < 2, ta có:
\[\eqalign{
& [x - 2]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2 > 0 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 4 \ge {[x + 2]^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - 2 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 0 \cr} \]
Vậy \[S = [-, 0] [2, +]\]
c] Bất phương trình đã cho tương đương với:
\[[I] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 8x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.\]
hoặc
\[[II] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 8x \ge 4{[x + 1]^2} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& [I] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr
& [II]\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr
3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr
{{ - 8 - 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 1 \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr} \]
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\[S = [ - \infty , - 1] \cup {\rm{[}} - 1,\,{{2\sqrt {13} - 8} \over 3}{\rm{]}} = [ - \infty ,{{2\sqrt {13} - 8} \over 3}{\rm{]}}\]
d] Đặt \[t = \sqrt {x[x + 3]} \,\,\,[t \ge 0]\]
x2 + 3x = t2 t2+ t - 6 0 -3 t 2
Kết hợp với điều kiện: 0 t 2 0 x2 + 3x 4
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 3 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 4 \le x \le -3 \hfill \cr
0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = [-4, -3] [0, 1]\]
Bài 86 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm
a]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 5x + 6 < 0 \hfill \cr
ax + 4 < 0 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr
{x^2} - 2ax + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\]
Đáp án
a] Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3
Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình: ax < -4
+ Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là \[x < - {4 \over a}\]
Vì \[- {4 \over a} < 0\]nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là \[x > - {4 \over a}\]
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
- {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a < - {4 \over 3}\]
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi:\[a < - {4 \over a}\]
b] Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1
Xét bất phương trình thứ hai của hệ:
Ta có: Δ= a2 1
Nếu Δ= 0 a = ± 1
+ Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1
Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Với a = -1, nghiệm của bất phương trình là x = -1
Nếu Δ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.
Do đó, hệ vô nghiệm.
Nếu Δ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Nghiệm của bất phương trình này là: x1 1 x2 [giả sử x1 < x2]
Theo định lý Vi-ét, ta có: x1x2 = 1 và x1 + x2 = 2a
+ Nếu a < -1 thì cả hai nghiệm x1 và x2 đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.
+ Nếu a > 1 thì hai nghiệm x1 và x2 đều dương. Ngoài ra vì x1x2 = 1 và x1 x2 nên x1 < 1 < x2.
Do đó, hệ có nghiệm.