Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], điểm \[A'\] cách đều ba điểm \[A, B, C\], cạnh bên \[AA'\] tạo với mặt phẳng đáy một góc \[60^0\].
a] Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b] Chứng minh rằng mặt bên \[BCCB'\] là một hình chữ nhật.
c] Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C\] [tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình [hoặc khối] lăng trụ đã cho].
Giải
a] Gọi \[O\] là tâm của tam giác đều \[ABC\]. Vì \[A\] cách đều ba đỉnh \[A, B, C\] nên \[A\] nằm trên trục của \[\Delta ABC\], do đó \[A'O \bot mp\left[ {ABC} \right]\]
\[AO\] là hình chiếu của \[AA\] trên mp \[[ABC]\]. Do đó \[\widehat {A'AO} = {60^0}\]
Trong tam giác vuông \[AOA\] ta có: \[\tan {60^0} = {{A'O} \over {AO}}\]
\[\Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0} = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 3 = a\]
Vậy thể tích khối lăng trụ là \[V = B.h = {S_{ABC}}.A'O = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.a = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\]
b] Vì \[BC \bot AO \Rightarrow BC \bot \left[ {AOA'} \right] \Rightarrow BC \bot AA'\]hay \[BC \bot BB'\]. Vậy \[BCCB\] là hình chữ nhật.
c] Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB\]. Ta có \[AB \bot \left[ {A'HO} \right] \Rightarrow A'H \bot AB\].
Trong tam giác vuông \[AOH\], ta có: \[A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2} = {a^2} + {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right]^2} = {{13{a^2}} \over {12}}\]
\[\Rightarrow A'H = {{a\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\]
Diện tích hình bình hành \[ABBA\] : \[{S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}{{\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\]
Tương tự \[{S_{ACC'A'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\]
Diện tích hình chữ nhật \[BCCB\] là: \[{S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC \]
\[= {{AO} \over {\cos {{60}^0}}}.a = {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\]
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là:
\[{S_{xq}} = 2{S_{AA'B'B}} + {S_{BCC'B'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {\sqrt 3 }} + {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3} \]
\[= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\left[ {\sqrt {13} + 2} \right]\]
Bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm \[M\]nằm trong hình tứ diện đều \[ABCD\].Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ \[M\]tới bốn mặt củahình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm \[M\].Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng \[a\]?
Giải
Gọi \[{H_1},{H_2},{H_3},{H_4}\]lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng \[[BCD] , [ACD] , [ABD] , [ABC]\].
Khi đó \[M{H_1},M{H_2},M{H_3},M{H_4}\]lần lượt là khoảng cách từ điểm \[M\] tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là \[S\] và gọi \[h\] là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:
\[\eqalign{
& {V_{MBCD}} + {V_{MACD}} + {V_{MABD}} + {V_{MABC}} = {V_{ABCD}} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 3}S.M{H_1} + {1 \over 3}S.M{H_2} + {1 \over 3}S.M{H_3}\cr& + {1 \over 3}S.M{H_4} = {1 \over 3}S.h \cr
& \Leftrightarrow M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4} = h \cr} \]
Vậy tổng các khoảng cách từ điểm \[M\] tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm \[M\] nằm trong tứ diện đó.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng \[a\], ta tính \[h\].
Gọi \[H\] là trực tâm tam giác đều \[BCD\] và \[M\] là trung điểm của \[CD\].
Ta có:
\[\eqalign{
& {h^2} = A{H^2} = A{M^2} - H{M^2}\cr& = {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} - {\left[ {{1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} \cr
& \,\,\,\,\,\, = {{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}} = {{2{a^3}} \over 3} \Rightarrow h = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \]
Tổng khoảng cách nói trên bằng \[{{a\sqrt 6 } \over 3}\].
Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'BC\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AA\]. Mặt phẳng đi qua \[M, B, C\] chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Giải
Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \[a\], độ dài cạnh bên của lăng trụ là \[b\].
Kẻ đường cao \[CH\] của tam giác \[ABC\] thì \[CH \bot \left[ {ABB'A'} \right],CH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Diện tích hình thang \[ABBM\] là: \[{S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left[ {AM + BB'} \right]AB = {1 \over 2}\left[ {{b \over 2} + b} \right].a\]
\[= {{3ab} \over 4}\]
Thể tích khối chóp \[C.ABBM\] là: \[{V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH = {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\]
Thể tích khối lăng trụ là: \[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} \]
\[= 2{V_{C.ABB'M}}\]
Vậy \[{V_{C.ABB'M}} = {V_{B'.A'C'CM}}\]
Chú ý:Có thể chứng minh được hai khối chóp \[C.ABBM\] và \[BACCM\] có cùng chiều cao và có diện tích đáy bằng nhau nên chúng có thể tích bằng nhau.