Bài 9 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xét sự đồng phẳng của ba vectơ \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \]và \[\overrightarrow {\rm{w}} \]trong mỗi trường hợp sau:
a] \[\overrightarrow u \left[ {4;3;4} \right]\,,\,\overrightarrow v \left[ {2; - 1;2} \right]\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left[ {1;2;1} \right]\]
b] \[\overrightarrow u \left[ {1; - 1;1} \right]\,;\,\overrightarrow v \left[ {0;1;2} \right]\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left[ {4;2;3} \right]\]
c] \[\overrightarrow u \left[ {4;2;5} \right]\,;\,\overrightarrow v \left[ {3;1;3} \right]\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left[ {2;0;1} \right]\]
Giải
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left[ {\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
- 1\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ {10;0; - 10} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 10.1 + 0.2 - 10.1 = 0 \cr} \]
Do đó \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.
b] \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] không đồng phẳng.
c] \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.
Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho ba điểm \[A\left[ {1;0;0} \right]\,;\,B\left[ {0;0;1} \right]\,;\,C\left[ {2;1;1} \right]\]
a] Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b] Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c] Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
d] Tính các góc của tam giác ABC.
Giải
a] Ta có \[\overrightarrow {BA} = \left[ {1;0; - 1} \right],\overrightarrow {BC} = \left[ {2;1;0} \right]\].
Vì \[{1 \over 2} \ne {0 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} \] không cùng phương do đó A, B, C thẳng hàng.
b] Ta có
\[\eqalign{
& AB = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} = \sqrt 2 \cr
& BC = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \cr} \]
Vậy chu vi tam giác ABC bằng \[\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 \].
Ta có \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC \]vuông tại A nên có diện tích \[S = {1 \over 2}AB.AC = {{\sqrt 6 } \over 2}\]
c] Gọi \[{h_a}\]là độ dài đường cao kẻ từ A ta có:
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}BC.{h_a} \Rightarrow {h_a} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\]
d] Vì tam giác ABC vuông tại A nên:
\[\cos B = {{AB} \over {BC}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {10} } \over 5}\,;\]
\[\cos C = {{AC} \over {BC}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {15} } \over 5}\]
Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho bốn điểm A[1 ; 0 ; 0], B[0 ; 1 ; 0], C[0 ; 0 ; 1] và D[-2 ; 1 ; -2].
a] Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b] Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
c] Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Giải
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left[ { - 1;1;0} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ { - 1;0;1} \right],\cr&\overrightarrow {AD} = \left[ { - 3;1; - 2} \right] \cr
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right]\cr& = \left[ { - 3;1; - 2} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 3.1 + 1.1 - 2.1 = - 4 \ne 0 \cr} \]
Do đó ba vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \]không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b] Ta có \[\overrightarrow {CD} = \left[ { - 2;1; - 3} \right],\overrightarrow {BD} = \left[ { - 2;0; - 2} \right],\]
\[\overrightarrow {BC} = \left[ {0; - 1;1} \right]\].
Gọi \[\alpha ,\beta ,\gamma \]lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì
\[\eqalign{
& \cos \alpha = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = {{\left| {2 + 1 + 0} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr
& \cos \beta = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = {{\left| {2 + 0 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \cr&\Rightarrow AC \bot BD \cr
& \cos \gamma = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right| = {{\left| {0 - 1 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \]
c] Thể tích tứ diện ABCD là: \[V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\]
Gọi \[{h_A}\]là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
\[\eqalign{
& V = {1 \over 3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} \cr
& {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \cr} \]
Vậy \[{h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\]