Câu 16 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính giới hạn của các dãy số sau :
a. \[\lim {{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7} \over {{n^4} + n + 100}}\]
b. \[\lim {{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3} \over {5{n^5} - {n^3} + 2n}}\]
c. \[\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}}\]
d. \[\lim {{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}}\]
Giải:
a. \[\lim {{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7} \over {{n^4} + n + 100}} = \lim {{1 - {{40} \over n} + {{15} \over {{n^3}}} - {7 \over {{n^4}}}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}} + {{100} \over {{n^4}}}}} = 1\]
b. \[\lim {{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3} \over {5{n^5} - {n^3} + 2n}} = \lim {{{2 \over {{n^2}}} + {{35} \over {{n^3}}} - {{10} \over {{n^4}}} + {3 \over {{n^5}}}} \over {5 - {1 \over {{n^2}}} + {2 \over {{n^4}}}}} = 0\]
c. \[\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}} = \lim {{{n^2}\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {n\left[ {2 + {1 \over n}} \right]}} = \lim {{n.\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {2 + {1 \over n}}} \]
\[= + \infty \]
d. \[\lim {{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}} = \lim {{3.{{\left[ {{2 \over 7}} \right]}^n} - 8} \over {4{{\left[ {{3 \over 7}} \right]}^n} + 5}} = - {8 \over 5}\]
Câu 17 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính các giới hạn sau :
a. \[\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} \]
b. \[\lim \left[ {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right]\]
c. \[\lim \left[ {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} - {n^2}} \right]\]
d. \[\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n} - n}}\]
Giải:
a. \[\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} = \lim {n^2}.\sqrt {3 - {{10} \over {{n^3}}} + {{12} \over {{n^4}}}} \]
\[= + \infty \]
b. \[\lim \left[ {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right] = \lim {4^n}\left[ {2{{\left[ {{3 \over 4}} \right]}^n} - 5} \right] = - \infty \]
c.
\[\eqalign{ & \lim \left[ {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} - {n^2}} \right] \cr&= \lim {{{n^2} + 1} \over {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} + {n^2}}} \cr & = \lim {{1 + {1 \over {{n^2}}}} \over {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^4}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \]
d. \[\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n }- n }} = \lim {{\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \over {2n}} = \lim {{\sqrt {1 + {2 \over n} }+ 1 } \over 2} = 1\]
Câu 18 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là \[{{12} \over 5}\] và tổng của cấp số nhân này là 15.
Giải:
Gọi u1, q là số hạng đầu và cộng bội của cấp số nhân [|q| < 1]. Theo đề bài ta có :
\[\left\{ {\matrix{ {{u_1}q = {{12} \over 5}} \cr {{{{u_1}} \over {1 - q}} = 15} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{u_1} = 12} \cr {q = {1 \over 5}} \cr } } \right.\,\text{hoặc} \;\left\{ {\matrix{ {{u_1} = 3} \cr {q = {4 \over 5}} \cr } } \right.\]
Câu 19 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính giới hạn của các hàm số sau :
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}}\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 - {x^2}}}\]
c. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x - 2} \over {{{\left[ {{x^3} + 2} \right]}^2}}}\]
d. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + x - 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\]
e. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}}\]
f. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1} \right]\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} \]
g. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} \]
h. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {5{x^2} + 1} - x\sqrt 5 } \right]\]
i. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}}\]
Giải:
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}} = {{1 + \left[ { - 1} \right] + 10} \over { - 1 + 6}} = 2\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{\left[ {x + 5} \right]\left[ {x + 6} \right]} \over {\left[ {5 - x} \right]\left[ {5 + x} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{x + 6} \over {5 - x}} = {1 \over {10}}\]
c. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x - 2} \over {{{\left[ {{x^3} + 2} \right]}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {4 \over {{x^4}}} + {1 \over {{x^5}}} - {2 \over {{x^6}}}} \over {{{\left[ {1 + {2 \over {{x^3}}}} \right]}^2}}} = 1\]
d. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + x - 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{1 \over {{x^3}}} + {1 \over {{x^4}}} - {{40} \over {{x^5}}}} \over {2 + {7 \over x} + {{21} \over {{x^5}}}}} = + \infty \]
e. Với mọi x < 0, ta có \[{1 \over x}\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} = - \sqrt {2{x^2} + 4 + {3 \over {{x^2}}}} \]
Do đó :
\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{1 \over x}\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2 + {1 \over x}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {2{x^2} + 4 + {3 \over {{x^2}}}} } \over {2 + {1 \over x}}} = - \infty \cr} \]
f. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1} \right]\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{{\left[ {2x + 1} \right]}^2}\left[ {x + 1} \right]} \over {2{x^3} + x}}} = \sqrt 2 \]
g. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {9 + {{11} \over x} - {{100} \over {{x^2}}}} = + \infty \]
h. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {5{x^2} + 1} - x\sqrt 5 } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {5{x^2} + 1} + x\sqrt 5 }} = 0\]
i.
\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \over {x + 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \over {1 + {1 \over x}}} = 2 \cr} \]
Câu 20 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng phương trình \[{x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\] luôn có ít nhất một nghiệm.
Giải
Đặt \[f[x]={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\]
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = - \infty \] nên có số \[α < 0\] sao cho \[f[α] < 0\].
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty \] nên có số \[β > 0\] sao cho \[f[β] > 0\].
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + a{x^2} + bx + c\] liên tục trên \[\mathbb R\] chứa đoạn \[\left[ {\alpha ;\beta } \right]\] nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số \[d \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\] sao cho \[f[d] = 0\]. Đó chính là nghiệm của phương trình \[f[x] = 0\].
Giabaitap.me