Câu 9 trang 105 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau :
a. Dãy số [un] với \[{u_n} = {{2{n^2} - 3} \over n}\]
b. Dãy số [un] với \[{u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}\]
c. Dãy số [un] với \[{u_n} = {\left[ { - 1} \right]^n}.\sqrt {{4^n}} \]
Giải
a. Ta có
\[\eqalign{
& {u_1} = {{{{2.1}^2} - 3} \over 1} = - 1 \cr
& {u_2} = {{{{2.2}^2} - 3} \over 2} = {5 \over 2} \cr
& {u_3} = {{{{2.3}^2} - 3} \over 3} = 5 \cr
& {u_4} = {{{{2.4}^2} - 3} \over 4} = {{29} \over 4} \cr
& {u_5} = {{{{2.5}^2} - 3} \over 5} = {{47} \over 5} \cr} \]
b.
\[\eqalign{
& {u_1} = {\sin ^2}{\pi \over 4} + \cos {{2\pi } \over 3} = {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0 \cr
& {u_2} = {\sin ^2}{\pi \over 2} + \cos {{4\pi } \over 3} = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr
& {u_3} = {\sin ^2}{{3\pi } \over 4} + \cos 2\pi = {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2} \cr
& {u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos {{8\pi } \over 3} = \cos \left[ {2\pi + {{2\pi } \over 3}} \right] = - {1 \over 2} \cr
& {u_5} = {\sin ^2}{{5\pi } \over 4} + \cos {{10\pi } \over 3} = {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0 \cr} \]
c.
\[\eqalign{
& {u_1} = - 2 \cr
& {u_2} = 4 \cr
& {u_3} = - 8 \cr
& {u_4} = 16 \cr
& {u_5} = - 32 \cr} \]
Câu 10 trang 105 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :
a. Dãy số [un] xác định bởi :
\[{u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n - 1}^2 + 1}}\] với mọi \[n 2\] ;
b. Dãy số [un] xác định bởi :
\[{u_1} = 1,{u_2} = - 2\,\text{ và }\,u_n={u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\] với mọi \[n 3\].
Giải
a. Ta có:
\[\eqalign{
& {u_2} = {2 \over {u_1^2 + 1}} = 2 \cr
& {u_3} = {2 \over {u_2^2 + 1}} = {2 \over {{2^2} + 1}} = {2 \over 5} \cr
& {u_4} = {2 \over {u_3^2 + 1}} = {2 \over {{4 \over {25}} + 1}} = {{50} \over {29}} \cr
& {u_5} = {2 \over {u_4^2 + 1}} = {2 \over {{{\left[ {{{50} \over {29}}} \right]}^2} + 1}} = {{1682} \over {3341}} \cr} \]
b. Ta có:
\[\eqalign{
& {u_3} = {u_2} - 2{u_1} = - 2 - 2.1 = - 4 \cr
& {u_4} = {u_3} - 2{u_2} = - 4 - 2\left[ { - 2} \right] = 0 \cr
& {u_5} = {u_4} - 2{u_3} = 0-2.[-4]=8 \cr} \]
Câu 11 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho hình vuông A1B1C1D1 có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A2B2C2D2, A3B3C3D3, , AnBnCnDn, theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, lấy các điểm An, Bn , Cn, và Dn tương ứng trên các cạnh An-1Bn-1, Bn-1Cn-1, Cn-1Dn-1và Dn-1An-1sao cho An-1An = 1cm và AnBnCnDn là một hình vuông [h.3.2]. Xét dãy số [un] với un là độ dài cạnh của hình vuông AnBnCnDn.
Hãy cho dãy số [un] nói trên bởi hệ thức truy hồi.
Giải:
Với mỗi \[n \in \mathbb N^*\], xét các hình vuông \[{A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\] và \[{A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\] ta có
\[\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left[ {{A_{n + 1}}{B_n}} \right]}^2} +{{\left[ {{B_n}{B_{n + 1}}} \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {{A_n}{B_n} - 1} \right]}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {{u_n} - 1} \right]}^2} + 1} \cr} \]
Câu 12 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi :
\[{u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3\] với mọi \[n 2\].
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi \[n 1\] ta có \[{u_n} = {2^{n + 1}}-3\] [1]
Giải
+] Với \[n = 1\] ta có \[{u_1} = 1 = {2^2}-3\].
Vậy [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\] tức là ta có : \[{u_k} = {2^{k + 1}} - 3\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[{u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\]
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
\[{u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left[ {{2^{k + 1}} - 3} \right] + 3 = {2^{k + 2}} - 3\]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] do đó [1] đúng với mọi \[n \in \mathbb N^*\].
Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :
a. Dãy số [un] với \[{u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\] ;
b. Dãy số [xn] với \[{x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\]
c. Dãy số [an] với \[{a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \]
Hướng dẫn :
a. Xét hiệu un+1 un.
b. Xét tỉ số \[{{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\]
c. Viết lại công thức xác định an dưới dạng
\[{a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]
Tiếp theo, xét tỉ số \[{{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\]
Giải:
a. Ta có:
\[\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left[ {n + 1} \right]^3} - 3{\left[ {n + 1} \right]^2} + 5\left[ {n + 1} \right] - 7 - \left[ {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right] \cr
& = 3{n^2} - 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right]\] là dãy số tăng.
b. Ta có:
\[\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left[ {n + 1} \right]} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n \in \mathbb N^*\cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \]
\[ [x_n]\]là dãy số giảm.
c. Ta có:
\[\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \]
\[[a_n]\] là dãy số giảm.
Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng dãy số \[[u_n]\] với
\[{u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\]
Là một dãy số giảm và bị chặn.
Giải
Ta có:
\[\eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left[ {3n + 2} \right] + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} = {2 \over 3} + {5 \over {3\left[ {3n + 2} \right]}} \cr
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {5 \over 3}\left[ {{1 \over {3n + 5}} - {1 \over {3n + 2}}} \right] < 0 \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n} \cr} \]
\[ [u_n]\] là dãy số giảm
Ta lại có \[0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\]
Vậy \[[u_n]\] là dãy số giảm và bị chặn.
Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\] với mọi \[n 1\].
a. Hãy tính u2, u4 và u6.
b. Chứng minh rằng \[u_n= 5n 2\] với mọi \[n 1\].
Giải
a. Ta có:
\[\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \]
b. Ta sẽ chứng minh : \[u_n= 5n 2\] [1] với mọi \[n \in \mathbb N^*\], bằng phương pháp qui nạp.
+] Với \[n = 1\], ta có \[u_1= 3 = 5.1 2\]
Vậy [1] đúng khi \[n = 1\].
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k, k\in \mathbb N^*\], tức là:
\[u_k=5k-2\]
+] Ta sẽ chứng minh [1] cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số [un] và giả thiết qui nạp ta có :
\[{u_{k + 1}} = {u_k} + 5 = 5k - 2 + 5 = 5\left[ {k + 1} \right] - 2\]
Do đó [1] đúng với mọi \[n\in \mathbb N^*\].
Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left[ {n + 1} \right]{.2^n}\] với mọi \[n 1\]
a. Chứng minh rằng [un] là một dãy số tăng.
b. Chứng minh rằng
\[{u_n} = 1 + \left[ {n - 1} \right]{.2^n}\] với mọi \[n 1\].
Giải
a. Từ hệ thức xác định dãy số [un], ta có:
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {n + 1} \right]{.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\]
Do đó [un] là một dãy số tăng.
b. Ta sẽ chứng minh \[{u_n} = 1 + \left[ {n - 1} \right]{.2^n}\] [1] với mọi \[n 1\], bằng phương pháp qui nạp.
+] Với \[n = 1\], ta có \[{u_1} = 1 = 1 + \left[ {1 - 1} \right]{.2^1}.\] Như vậy [1] đúng khi \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k \in\mathbb N^*\], tức là:
\[{u_k} = 1 + \left[ {k - 1} \right]{2^k}\]
+] Ta sẽ chứng minh [1] cũng đúng với \[n = k + 1\].
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số [un] và giả thiết qui nạp, ta có :
\[{u_{k + 1}} = {u_k} + \left[ {k + 1} \right]{.2^k} = 1 + \left[ {k - 1} \right]{.2^k} + \left[ {k + 1} \right]{.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}\]
Vậy [1] đúng với mọi \[n 1\].
Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\] với mọi \[n 1\]
Chứng minh rằng [un] là một dãy số không đổi [dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau].
Giải
Ta chứng minh \[u_n= 1\] [1] \[ n \in \mathbb N^*\] bằng qui nạp
+] Rõ ràng [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có \[u_k= 1\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\].
Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :
\[{u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\], do đó [1] đúng với mọi \[n \in \mathbb N^*\]
Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số [sn] với \[{s_n} = \sin \left[ {4n - 1} \right]{\pi \over 6}.\]
a. Chứng minh rằng \[{s_n} = {s_{n + 3}}\] với mọi \[n 1\]
b. Hãy tính tổng \[15\] số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Giải:
a. Với \[n>1\] tùy ý, ta có :
\[\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left[ {n + 3} \right] - 1} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {\left[ {4n - 1} \right]{\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr
& = \sin \left[ {4n - 1} \right]{\pi \over 6} = {s_n} \cr} \]
b. Từ kết quả phần a ta có :
\[\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \]
Từ đó suy ra :
\[{s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\]
Do đó : \[{S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}} = 5\left[ {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right]\]
Bằng cách tính trực tiếp, ta có \[{s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \Rightarrow {s_{15}} = 0\]