Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[A = \sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} \]
Đáp án
Điều kiện: \[1 x 4\]
Với \[1 x 4\], ta có:
\[{A^2} = {[\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} ]^2} \]
\[ = 3 + 2\sqrt {[x - 1][4 - x]} \le 3 + x - 1 + 4 - x = 6\]
[Theo bất đẳng thức Cô-si]
Suy ra: \[A \le \sqrt 6 \]
Dấu = xảuy ra khi \[x 1= 4 x \Rightarrow x = {5 \over 2}\] [thỏa mãn điều kiện : \[1 x 4\]]
Vậy giá trị lớn nhất của A là \[\sqrt 6 \]
\[{A^2} = 3 + 2\sqrt {[x - 1][4 - x]} \ge 3\]
vì \[\sqrt {[x - 1][4 - x]} \ge 0\]
Vậy \[A \ge \sqrt 3 \]
Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:
[a + b + c]2 3[a2+ b2+ c2]
Đáp án
Ta có:
[a + b + c]2 3[a2+ b2+ c2]
a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca 3a2 + 3b2 + 3c2
2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca 0
[a b]2 + [b c]2 + [c a]2 0 [luôn đúng]
Vậy [a + b + c]2 3[a2+ b2+ c2]
Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:
\[{\left[{{a + b + c + d} \over 4}\right]^4} \ge abcd\]
Đáp án
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\[\eqalign{
&{{{a + b + c + d} \over 4}}\cr&= {1 \over 2}[{{a + b} \over 2} + {{c + d} \over 2}] \ge {1 \over 2}[\sqrt {ab} + \sqrt {cd} ]\cr& \ge \sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \root 4 \of {abcd} \cr} \]
Bất đẳng thức cô si
\[ {\left[{{a + b + c + d} \over 4}\right]^4}\ge abcd\]
Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
a] Nếu x2 + y2 = 1 thì \[|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \]
b] Nếu 4x 3y = 15 thì x2+ y2 9
Giải
a] Ta có:
[x + y]2 = x2 + y2 + 2xy x2 + y2 + x2 + y2 = 2
\[|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \]
b] Vì 4x 3y = 15 \[\Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\]
Do đó:
\[\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {[{4 \over 3}x - 5]^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 = {[{5 \over 3}x - 4]^2} + 9 \ge 9 \cr} \]
Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
a] Ta có:
\[\eqalign{
& {[x + y]^2} = {[x.1 + y.1]^2} \le [{x^2} + {y^2}][{1^2} + {1^2}] = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& {15^2} = {[4x - 3y]^2} \le [{4^2} + {3^2}][{x^2} + {y^2}] \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \]