Câu 85 trang 172 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O], đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a] Chứng minh rằng NE AB.
b] Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn [O].
c] Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn [ B ; BA].
Giải:
a] Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn [O] có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: AN BM
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn [O] có AB là đường kính nên vuông tại C
Suy ra: AC BN
Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN
Suy ra: NE AB
b] Ta có: MA = MN [ tính chất đối xứng tâm]
ME = MF [ tính chất đối xứng tâm]
Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.
Suy ra: AF // NE
Mà NE AB [ chứng minh trên]
Suy ra: AF AB tại A.
Vậy FA là đường trung tuyến của đường tròn [O].
c] Trong tam giác ABN ta có: AN BM và AM = AN
Suy ra tam giác ABN cân tại B.
Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn [B; BA]
Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC
Mặt khác: AC BN [ chứng minh trên]
Suy ra: FN BN tại N
Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn [ B; BA].
Câu 86 trang 172 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O], đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn [O'] có đường kính CB.
a] Hai đường tròn [O] và [O'] có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau ?
b] Kẻ dây DE của đường tròn [O] vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao?
c] Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn [O']. Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d] Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn [O'].
Giải:
a] Vì O, O' và B thẳng hàng nên: O'B < OB O' nằm giữa O và B
Ta có: OO' = OB - O¢B
Vậy đường tròn [O'] tiếp xúc với đường tròn [O] tại B.
b] Ta có: HA = HC [gt]
AB DE [gt]
Suy ra: HD = HE [đường kính vuông góc với dây cung]
Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: AC DE
Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi.
c] Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn [O] có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD BD
Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD
Suy ra: EC BD [1]
Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn [O¢] có BC là đường kính nên vuông tại K.
Suy ra: CK BD [2]
Từ [1] và [2] suy ra EC trùng với CK
Vậy E, C, K thẳng hàng.
d] Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
\[HK = HE = {1 \over 2}DE\] [tính chất tam giác vuông]
Suy ra tam giác EHK cân tại H
Suy ra: \[\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\] [tính chất tam giác cân] [3]
Ta có: O'K = O'C [= R] nên tam giác O'CK cân tại O'
Suy ra: \[\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}\] [tính chất tam giác cân]
Mà: \[\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\] [đối đỉnh]
Suy ra: \[\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[\widehat {HKO'} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\] [5]
Tam giác CEH vuông tại H nên \[\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \] [6]
Từ [5] và [6] suy ra: \[\widehat {HKO'} = 90^\circ \] hay HK KO' tại K
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn [O'].
Câu 87 trang 172 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hai đường tròn [O ; R] và [O' ; R'] tiếp xúc ngoài tại A [ R > R'].
Vẽ các đường kính AOB, AO¢C. Dây DE của đường tròn [O] vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a] Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b] Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn [O¢]. Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng.
c] Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn [O¢].
Giải:
a] Vì đường tròn [O] và [O¢] tiếp xúcngoài tại A nên O, A và O' thẳng hàng.
Ta có: KB = KC [gt]
Trong đường tròn [O] ta có:
AB DE tại K
Suy ra: KD = KE [ đường kính vuông góc với dây cung]
Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: BC DE
Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
b] Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn [O] có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD BD
Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD
Suy ra: EC AD [1]
Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn [O¢] có AC là đường kính nên vuông tại I.
Suy ra: AI CE [2]
Từ [1] và [2] suy ra AD trùng với AI
Vậy D, A, I thẳng hàng.
c] Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
\[KI = KD = {1 \over 2}ED\] [ tính chất tam giác vuông]
Suy ra tam giác IKD cân tại K
Suy ra: \[\widehat {KID} = \widehat {KDI}\] hay \[\widehat {KIA} = \widehat {KDA}\] [3]
Ta có: O'A = O'I [ = R] nên tam giác O'IA cân tại O'
Suy ra: \[\widehat {O'AI} = \widehat {O'IA}\] [ tính chất tam giác cân]
Mà: \[\widehat {O'AI} = \widehat {KAD}\] [đối đỉnh]
Suy ra: \[\widehat {O'IA} = \widehat {KAD}\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[\widehat {KIO'} = 90^\circ \] hay KI O'I tại I.
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn [O'].
Câu 88 trang 172 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn [M ; MH]. Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M [ C và D là các tiếp điểm khác H].
a] Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn [O].
b] Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn [O] thì tổng AC + BD không đổi.
c] Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
Giải:
a] Trong đường tròn [M; MH], theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA là tia phân cách của góc HMC
Suy ra: \[\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\] hay \[\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\]
MB là tia phân giác của góc HMD
Suy ra: \[\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\] hay \[\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\]
Tam giác ABM nội tiếp đường tròn [O] có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] hay \[\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\]
\[= 2 [\widehat {HMA} + \widehat {HMB}] = 2.90^\circ = 180^\circ \]
Vậy C, M, D thẳng hàng.
b] Trong đường tròn [M ; MH], theo [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH.
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi
c] Ta có: AC CD và BD CD [ tính chất tiếp tuyến]
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB [ bán kính [O]]
Và AC = MD [ bán kính [M]]
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABCD
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM CD hay \[\widehat {OMI} = 90^\circ \]
Tam giác OMI vuông tại M có MH OI.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2= OH.OI
Suy ra: OH.OI = R2không đổi.