Câu 88 trang 90 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:
a. IA = BC; b. IA BC.
Giải:
a. \[\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\]
\[\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}[gt]\]
Suy ra: \[\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\] [1]
AE // DI [gt]
\[\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
Xét ABC và DAI :
AB = AD [gt]
\[\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\] [chứng minh trên]
AC = DI [vì cùng bằng AE]
Do đó: ABC = DAI [c.g.c] IA = BC
b. ABC = DAI [ chứng minh trên] \[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\] [3]
Gọi giao điểm IA và BC là H.
Ta có: \[{\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\] [kề bù]
mà \[\widehat {BAD} = {90^0}[gt] \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[{\widehat B_1} = {\widehat A_2} = {90^0}\]
Trong AHB ta có: \[\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\]
Suy ra \[\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\] hay IA BC
Câu 89 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình bình hành ABCD, biết:
a. AB = 2cm, AD = 3cm, \[\widehat A = {110^0}\]
b. AC = 4cm, BD = 5cm, \[\widehat {BOC} = {50^0}\] [O là giao điểm của hai đường chéo].
Giải:
Cách dựng:
Dựng ABD có AB = 2cm, \[\widehat A = {110^0}\], AD = 3cm
- Dựng tia Bx // AD
- Dựng tia Dy // AB cắt Bx tại C
Ta có hình bình hành ABCD cần dựng
Chứng minh: AB // CD, AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta lại có AB = 2cm, \[\widehat A = {110^0}\] , AD = 3cm. Bài toán có một nghiệm hình.
b.
Cách dựng:
- Dựng OBC có OC = 2cm, OB = 2,5cm , \[\widehat O = {50^0}\]
- Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2cm
- Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho AD = OB = 2,5cm
Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng
Chứng minh: Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Có AC = 4cm, BD = 5cm, \[\widehat {BOC} = {50^0}\]
Bài toán có một nghiệm hình.
Câu 90 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho ba điểm A, B, C trên giấy kẻ ô vuông [h.12]. Hãy vẽ điểm thứ tư M sao cho A, B, C, M là bốn đỉnh của một hình bình hành
Giải:
- Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vì AB là đường chéo hình vuông có cạnh là hai ô vuông nên \[C{M_1}\] là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, \[{M_1}\]nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành \[ABC{M_1}\] .
- Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông , điểm B cách \[{M_2}\] là ba ô vuông và C, \[{M_2}\]cũng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành \[AB{M_2}C\]
- Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thì điểm \[{M_3}\] cách điểm B ba ô vuông, \[{M_3}\]và A nằm trên cũng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành \[ACB{M_3}\] .
Câu 91 trang 91 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB ở E, cắt cạnh AC ở F sao cho BE = AF.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng đường phân giác AD
- Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F.
- Qua F dựng đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.
Ta có điểm E, F cần dựng.
Chứng minh: DF // AB
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\] [so le trong]
\[{\widehat A_1} = {\widehat A_2}\] [gt]
Suy ra: \[{\widehat D_1} = {\widehat A_2}\]
AFD cân tại F
AF = DF [1]
DF // AB hay DF // BE
EF // BC hay EF // ED
Tứ giác BDFE là hình bình hành BE = DF [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AF = BE