Câu III.1Trang 114 Sách Bài Tập[SBT]Toán 9 Tập 2
Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a. Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính a. Kẻ các đường kính ABE và ADF. Trên cung nhỏ CE của đường tròn tâm B lấy điểm M [không trùng với E và C]. Đường thẳn CM cắt đường tròn tâm D tại điểm thứ hai là N. Hai đường thẳng EM và NF cắt nhau tại điểm T. Gọi H là giao điểm của AT và MN.
Chứng minh:
a] MNT là tam giác đều.
b] AT = 4AH.
Giải
a] Trong đường tròn [B] ta có:
\[\widehat {AMC} = {1 \over 2}\widehat {ABC}\] [hệ quả góc nội tiếp] mà \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] [vì ABC đều]
\[ \Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ \]
\[\widehat {AME} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn [B]]
\[ \Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ \]
\[\widehat {TMN} = \widehat {AMT} - \widehat {AMC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Trong đường tròn [D] ta có:
\[\widehat {ANC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\] [Hệ quả góc nội tiếp] mà \[\widehat {ADC} = 60^\circ \] [vì ADC đều] \[ \Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ \]
\[\widehat {ANF} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn [D]]
\[ \Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ - \widehat {ANC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] hay \[\widehat {MNT} = 60^\circ \]
Vậy TMN đều.
b] \[\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ \]
\[ \Rightarrow \Delta AMN\] cân tại A \[ \Rightarrow \] AM = AN nên A nằm trên đường trung trực MN TMN đều
\[ \Rightarrow \] TM = TN nên T nằm trên đường trung trực MN
Suy ra AT là đường trung trực của MN nên AT MN
AHM có \[\widehat {AHM} = 90^\circ \]
\[AM = {{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }} = {{AH} \over {{1 \over 2}}} = 2AH\] [1]
TH MN nên TH là đường phân giác của \[\widehat T\] nên \[\widehat {MTA} = 30^\circ \]
AMT có \[\widehat {AMT} = 90^\circ \]
\[AT = {{AT} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {{AM} \over {{1 \over 2}}} = 2AM\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AT = 4AH
Câu III.2 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cắt tuyến MCD với đường tròn [O], trong đó điểm C ở giữa hai điểm M, D. Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với OA cắt AB tại H. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh HI song song với AD.
Giải
MA OA [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \]
MB OB [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \]
IC = ID [gt]
\[ \Rightarrow \] OI CD [đường kính đi qua điểm chính giữa của dây]
\[ \Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ \]
A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng 90º nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO.
\[ \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {ABI}\] [Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AOI]
CH \[\overparen{AO}\] [gt]
Suy ra: CH // MA
\[\widehat {AMI} = \widehat {HCI}\] [hai góc đồng vị]
Suy ra: \[\widehat {HCI} = \widehat {ABI}\] hay \[\widehat {HCI} = \widehat {HBI}\]
B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhau nên tứ giác BCHI nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {CBH} = \widehat {CIH}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{CH}\]] hay \[\widehat {CBA} = \widehat {CIH}\] [1]
Trong đường tròn [O] ta có:
\[\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{AC}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {CIH} = \widehat {CDA}\] nên HI // AD [vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau]
[Trường hợp cát tuyến đi qua tâm ngũ giác MAOIB suy biến thành tứ giác MAOB chứng minh tương tự ta có HO // AD].
Mỗi bài III.3 đến III.12 sau đây đều có 4 phương án lựa chọn là [A], [B], [C], [D] nhưng chỉ có một trong số đó đúng. Hãy chỉ ra phương án mà em cho là đúng.
Câu III.3 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Góc nội tiếp là góc:
[A] có đỉnh nằm trên đường tròn.
[B] có hai cạnh là hai giây của đường tròn.
[C] có hai đỉnh là tâm đường tròn và có hai cạnh là hai bán kính.
[D] có hai cạnh là hai dây của đường tròn đó và chỉ có một đầu mút chung.
Giải
Chọn [D] có hai cạnh là hai dây của đường tròn đó và chỉ có một đầu mút chung.
Câu III.4 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Một đường tròn là đường tròn nội tiếp nếu có:
[A] đi qua các đỉnh của một tam giác.
[B] tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của một tam giác.
[C] tiếp xúc với các cạnh của một tam giác.
[D] nằm trong một tam giác.
Giải
Chọn [C] tiếp xúc với các cạnh của một tam giác.