12:47:2821/07/2021
Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?
• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án
1. Phương trình sinx = a [1]
- Nếu |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.
- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là
Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết:
α = arcsina.
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:
° a = 1 khi đó sinx = 1
° a = -1 khi đó sinx = -1
° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
° Đặc biệt nếu:
+]
+]
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] sinx = 1/3;
b] sin[x + 45o] = [-√2]/2.
> Lời giải:
a] sinx = 1/3
⇔ x = arcsin[1/3].
- Vậy phương trình sinx = 1/3 có các nghiệm là:
x = arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z
b] sin[x + 45o] = -[√2]/2.
- Vì: [-√2]/2 = sin[-45o] nên
sin[x + 45o] = [-√2]/2
⇔ sin[x+45o] = sin[-45o]
⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z
⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z
và x + 45o = 180o - [-45o] + k360o, k ∈ Z
⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z
và x = 180o - [-45o ] - 45o + k360o,k ∈ Z
Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z
2. Phương trình cosx = a [2]
- Nếu |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.
- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là:
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết:
α = arccosa.
Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là:
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:
° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z
° a = -1 khi đó cosx = -1
° a = 0 khi đó cosx = 0
° Đặc biệt nếu:
+]
+]
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] cosx = [-1]/2;
b] cosx = 2/3;
c] cos[x + 30o] = √3/2.
> Lời giải:
a] cosx = [-1]/2;
- Vì [-1]/2 = cos[2π/3] nên cosx = [-1]/2
⇔ cosx = cos[2π/3]
⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z
b]cos x = 2/3
⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z
c] cos[x + 30o] = √3/2.
- Vì [√3]/2 = cos30o nên cos[x + 30o]= [√3]/2
⇔ cos[x + 30o] = cos30o
⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z
⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z
3. Phương trình tanx = a [3]
- Điều kiện:
- Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết:
α = arctana.
Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là: x = arctana + kπ, k ∈ Z
* Đặc biệt nếu:
+] tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
+] tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z
* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:
a] tanx = 1; b] tanx = -1; c] tanx = 0.
> Lời giải:
a] tanx = 1 ⇔ tanx = tan[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z
b] tanx = -1 ⇔ tanx = tan[-π/4] ⇔ x =[-π/4] + kπ, k ∈ Z
c] tanx = 0 ⇔ tanx = tan0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
4. Phương trình cotx = a [4]
- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
- Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết:
α = arccota.
Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là: x = arccota + kπ, k ∈ Z
* Đặc biệt nếu:
+] cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
+] cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z.
* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau
a] cotx = 1;
b] cotx = -1;
c] cotx = 0.
> Lời giải:
a]cotx = 1 ⇔ cotx = cot[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z
b]cotx = -1 ⇔ cotx = cot[-π/4] ⇔ x = [-π/4] + kπ,k ∈ Z
c]cotx = 0 ⇔ cotx = cot[π/2] ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z
> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải. KhoiA hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.
Lượng giác Các ví dụ
Những Bài Tập Phổ Biến
Lượng giác
Giải ? sin[x]=3/4
Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất từ trong hàm sin.
Biểu Thị .
Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.
Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.
Bấm để xem thêm các bước...Loại bỏ các dấu ngoặc đơn xung quanh biểu thức .
Trừ từ .
Tìm chu kỳ.
Bấm để xem thêm các bước...Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng cách sử dụng .
Thay thế với trong công thức cho chu kỳ.
Giải phương trình.
Bấm để xem thêm các bước...Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa và là .
Chia cho .
Chu kỳ của hàm là nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi radian theo cả hai hướng.
, cho mọi số nguyên