Câu 1. [8 điểm] Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.
a]Tính diện tích tam giác ABC;
b]Tính cosB, góc B nhọn hay tù?
c]Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác;
d]Tính độ dài trung tuyến\[{m_b}\]
Gợi ý làm bài
a] Dùng công thức Hê rông để tính diện tích tam giác ABC, ta có
\[p = {1 \over 2}[13 + 14 + 15] = 21\]
\[\eqalign{
& S = \sqrt {p[p - a][p - b][p - c]} \cr
& = \sqrt {21[21 - 13][21 - 14][21 - 15]} = 84 \cr} \]
b]\[\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{{13}^2} + {{15}^2} - {{14}^2}} \over {2.13.15}} = {{33} \over {65}}\]
cosB > 0 nên góc B nhọn.
c] Ta có \[S = {{abc} \over {4R}} = > R = {{abc} \over {4S}} = {{13.14.15} \over {4.84}} = {{65} \over 8}\]
Ta có: \[S = p.r = > r = {S \over p} = {{84} \over {21}} = 4\]
d]\[m_b^2 = {{2[{a^2} + {c^2}] - {b^2}} \over 4} = {{2[{{13}^2} + {{15}^2}] - {{14}^2}} \over 4} = 148\]
Vậy\[{m_b} = \sqrt {148} = 2\sqrt {37} \]
Câu 2. [2 điểm] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[-1;2], B[2;0], C[-3;1]. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
I[x;y]là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
IA = IB \hfill \cr
IA = IC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr
I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{[x + 1]^2} + {[y - 2]^2} = {[x - 2]^2} + {y^2} \hfill \cr
{[x + 1]^2} + {[y - 2]^2} = {[x + 3]^2} + {[y - 1]^2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6x - 4y = - 1 \hfill \cr
4x + 2y = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{11} \over {14}} \hfill \cr
y = - {{13} \over {14}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[I\left[ { - {{11} \over {14}}; - {{13} \over {14}}} \right]\]