Edusmart.vn giới thiệu tới quý vị thầy cô và các em học sinh chuyên đề Giải Phương Trình Bậc Cao Số Phức. Nội dung chuyên đề giúp đánh giá năng lực học sinh sau khi kết thúc bài học.
Tuyển tập đề kiểm tra, đề thi và bài tập chuyên đề toán 10
Danh sách các đề kiểm tra 15 phút toán 12 theo từng bài, kiểm tra 1 tiết [45 phút] toán 12 theo từng chương, kiểm tra học kỳ 1 toán 12, kiểm tra học kỳ 2 toán 12, kiểm tra khảo sát toán 12 cả năm, các chuyên đề toán lớp 12, đề thi thử đại học, tất cả đều có lời giải chi tiết phục vụ cho công việc giảng dạy của quý thầy cô và việc tự học cảu các em học sinh, link danh sách tài liệu được để bên dưới bài viết.
Dưới đây là chuyên đề Giải Phương Trình Bậc Cao Số Phức
Chuyên đề Giải Phương Trình Bậc Cao Số Phức
Để tải các tài liệu file word [có đáp án và lời giải chi tiết] quý thầy cô vui lòng liên hệ số hotline 0979263759 [Call, Zalo], hoặc địa chỉ mail
Nội dung chuyên đề được biên soạn bao gồm lý thuyết, bài tập ví dụ, bài tập luyện tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, qua đó giúp các em hệ thống được kiến thức cốt lõi trong chương học và phân dạng phương pháp giải bài tập, hình thành phản xạ có thể giải quyết các dạng bài tập tương tự tiếp theo.
Quý thầy cô đóng góp đề thi của trường mình cho nguồn tài liệu thêm phong phú xin gửi về địa chỉ mail: . Edusmart Xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của quý thầy cô.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 CỰC HAY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 TOÁN 12
ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 TOÁN 12
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI KHẢO SÁT TOÁN 12 THEO CHỦ ĐIỂM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 CÁC SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÊN TOÀN QUỐC
TỔNG HỢP BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 CÓ GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ MŨ LŨY THỪA VÀ LOGARIT
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 1 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ NÓN TRỤ CẦU
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC OXYZ
[TEX]pt \Leftrightarrow {\{ {z^3 - 3z^2 - 2z + 16 = 0} \\ {z^2 + z - 2 = 0}} \Leftrightarrow z = -2[/TEX] Suy ra pt có 1 nghiệm thực là z = -2 Suy ra [TEX]pt \Leftrightarrow [z+2][z^2 - [5-i]z + 8 - i] = 0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow {\[ {z = -2} \\ { z^2 - [5-i]z + 8 - i = 0[/TEX] Pt sau giải được nhỉ?
Giải phương trình phức bậc 3
Bạn ơi nếu giải xong hệ đó mà mình ra nghiệm ảo thì sao hả bạn, pt của mình đây 5z^3 - [4-5i]z^2 + 4[2-i]z + 8i = 0. Thanks bạn rất rất nhiều ^^
Bài viết hướng dẫn một số cách giải phương trình bậc 3 tổng quát: phân tích nhân tử, phương pháp Cardano, phương pháp lượng giác hóa – hàm hyperbolic. Tùy vào các phương trình bậc 3 [phương trình bậc ba] sẽ có các cách giải phù hợp để thu được lời ngắn gọn, dễ hiểu.
A. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT
1. Phương pháp phân tích nhân tử
Nếu phương trình bậc ba $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ có nghiệm $x = r$ thì có nhân tử $[x – r]$, do đó có thể phân tích: $a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $ = \left[ {x – r} \right]\left[ {a{x^2} + \left[ {b + ar} \right]x + c + br + a{r^2}} \right].$
Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là: $\frac{{ – b – ra \pm \sqrt {{b^2} – 4ac – 2abr – 3{a^2}{r^2}} }}{{2a}}.$
2. Phương pháp Cardano
Xét phương trình bậc ba ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$ $[1].$
Đặt $x = y – \frac{a}{3}$, phương trình $[1]$ luôn biến đổi được về dạng chính tắc: ${y^3} + py + q = 0$ $[2]$, trong đó: $p = b – \frac{{{a^2}}}{3}$, $q = c + \frac{{2{a^3} – 9ab}}{{27}}.$
Ta chỉ xét $p,q \ne 0$ vì nếu $p=0$ hoặc $q=0$ thì đưa về trường hợp đơn giản.
Đặt $y=u+v$ thay vào phương trình $[2]$, ta được: ${\left[ {u + v} \right]^3} + p\left[ {u + v} \right] + q = 0$ $ \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} + \left[ {3uv + p} \right]\left[ {u + v} \right] + q = 0$ $[3].$
Chọn $u$, $v$ sao cho $3uv+p=0$ $[4].$
Như vậy, để tìm $u$ và $v$, từ $[3]$ và $[4]$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{u^3} + {v^3} = – q\\
{u^3}{v^3} = – \frac{{{p^3}}}{{27}}
\end{array} \right.$
Theo định lí Vi-ét, ${u^3}$ và ${v^3}$ là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} + qX – \frac{{{p^3}}}{{27}} = 0$ $[5].$
Đặt $\Delta = \frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}.$
• Khi $Δ > 0$, phương trình $[5]$ có nghiệm: ${u^3} = – \frac{q}{2} + \sqrt \Delta $, ${v^3} = – \frac{q}{2} – \sqrt \Delta .$
Như vậy phương trình $[2]$ sẽ có nghiệm thực duy nhất là: $y = \sqrt[3]{{ – \frac{q}{2} + \sqrt \Delta }} + \sqrt[3]{{ – \frac{q}{2} – \sqrt \Delta }}.$
• Khi $Δ=0$, phương trình $[5]$ có nghiệm kép: $u = v = – \sqrt[3]{{\frac{q}{2}}}.$
Khi đó, phương trình $[2]$ có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép: ${y_1} = 2\sqrt[3]{{ – \frac{q}{2}}}$, ${y_2} = {y_3} = \sqrt[3]{{\frac{q}{2}}}.$
• Khi $Δ < 0$, phương trình $[5]$ có nghiệm phức.
Gọi $u_0^3$ là một nghiệm phức của $[5]$, $v_0^3$ là giá trị tương ứng sao cho ${u_0}{v_0} = – \frac{p}{3}.$
Khi đó, phương trình $[2]$ có ba nghiệm phân biệt: ${y_1} = {u_0} + {v_0}$, ${y_2} = – \frac{1}{2}\left[ {{u_0} + {v_0}} \right] + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{u_0} – {v_0}} \right]$, ${y_3} = – \frac{1}{2}\left[ {{u_0} + {v_0}} \right] – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{u_0} – {v_0}} \right].$
3. Phương pháp lượng giác hoá
Một phương trình bậc ba, nếu có $3$ nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số $\cos$ và $\arccos.$
Cụ thể, từ phương trình ${t^3} + pt + q = 0$ $[*]$, ta đặt $t = u\cos \alpha $ và tìm $u$ để có thể đưa $[*]$ về dạng: $4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha – cos3\alpha = 0.$
Muốn vậy, ta chọn $u = 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ và chia $2$ vế của $[*]$ cho $\frac{{{u^3}}}{4}$ để được: $4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha – \frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3\alpha = \frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} .$
Vậy $3$ nghiệm thực là: ${t_i} = 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} \cos \left[ {\frac{1}{3}\arccos \left[ {\frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} } \right] – \frac{{2i\pi }}{3}} \right]$ với $i = 0, 1, 2.$
Lưu ý rằng nếu phương trình có $3$ nghiệm thực thì $p < 0$ [điều ngược lại không đúng] nên công thức trên không có số phức.
[ads]
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^3} + {x^2} + x = – \frac{1}{3}.$
Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: $3{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0.$ Đại lượng $3{x^2} + 3x + 1$ gợi ta đến hằng đẳng thức quen thuộc sau: ${x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {\left[ {x + 1} \right]^3}.$ Do đó phương trình tương đương: ${\left[ {x + 1} \right]^3} = – 2{x^3}$ $ \Leftrightarrow x + 1 = – \sqrt[3]{2}x.$
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x = \frac{{ – 1}}{{1 + \sqrt[3]{2}}}.$
Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano:
Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^3} – 3{x^2} + 4x + 11 = 0.$
Đặt $x = y + 1$, thế vào phương trình đầu bài, ta được: ${y^3} + 1.y + 13 = 0.$ Tính $\Delta = {13^2} + \frac{4}{{27}}{.1^3}$ $ = \frac{{4567}}{{27}} \ge 0.$ Áp dụng công thức Cardano suy ra: $y = \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 + \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}$ $ + \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 – \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}.$
Suy ra: $x = \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 + \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}$ $ + \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 – \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}} + 1.$
Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên, đó là phương pháp lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng $x^3 + px + q = 0$ với $p 0$ không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất:
Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^3} + 6x + 4 = 0.$
Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt $x = k\left[ {t – \frac{1}{t}} \right]$ để đưa về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này không cần điều kiện của $x$, vì nó tương đương $k\left[ {{t^2} – 1} \right] – xt = 0.$ Phương trình trên luôn có nghiệm theo $t$. Như vậy từ phương trình đầu ta được: ${k^3}\left[ {{t^3} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right] – 3{k^3}\left[ {t – \frac{1}{t}} \right]$ $ + 6k\left[ {t – \frac{1}{t}} \right] + 4 = 0.$ Cần chọn $k$ thỏa $3{k^3} = 6k$ $ \Rightarrow k = \sqrt 2 .$ Vậy ta có lời giải bài toán như sau: Đặt $x = \sqrt 2 \left[ {t – \frac{1}{t}} \right]$, ta có phương trình: $2\sqrt 2 \left[ {{t^3} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right] + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^6} – 1 + \sqrt 2 {t^3} = 0$ $ \Leftrightarrow {t_{1,2}} = \sqrt[3]{{\frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}}.$
Lưu ý rằng ${t_1}{t_2} = – 1$ theo định lí Vi-ét nên ta chỉ nhận được một giá trị của $x$ là: $x = {t_1} + {t_2}$ $ = \sqrt 2 \left[ {\sqrt[3]{{\frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}}} \right].$
Ví dụ 6. Giải phương trình $4{x^3} – 3x = m$ với $\left| m \right| > 1.$
Nhận xét rằng khi $\left| x \right| \le 1$ thì $\left| {VT} \right| \le 1 < \left| m \right|$ [sai] nên $\left| x \right| \ge 1.$ Vì vậy ta có thể đặt $x = \frac{1}{2}\left[ {t + \frac{1}{t}} \right]$, ta được phương trình: $\frac{1}{2}\left[ {{t^3} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right] = m.$ Từ đó: $t = \sqrt[3]{{m \pm \sqrt {{m^2} – 1} }}$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{2}\left[ {\sqrt[3]{{m + \sqrt {{m^2} – 1} }} + \sqrt[3]{{m – \sqrt {{m^2} – 1} }}} \right].$ Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Giả sử phương trình có nghiệm ${x_0}$ thì ${x_0} \notin \left[ { – 1;1} \right]$ vì $\left| {{x_0}} \right| > 1.$ Khi đó: $4{x^3} – 3x = 4x_0^3 – 3{x_0}$ $ \Leftrightarrow \left[ {x – {x_0}} \right]\left[ {4{x^2} + 4x{x_0} + 4x_0^2 – 3} \right] = 0.$ Xét phương trình: $4{x^2} + 4x{x_0} + 4x_0^2 – 3 = 0.$ Ta có: $\Delta ‘ = 12 – 12x_0^2 < 0$ nên phương trình bậc hai này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = \frac{1}{2}\left[ {\sqrt[3]{{m + \sqrt {{m^2} – 1} }} + \sqrt[3]{{m – \sqrt {{m^2} – 1} }}} \right].$
- Kiến thức Phương trình và hệ phương trình