Hàm số bị chặn là gì
Hàm của một hàm là nghịch đảo của nó. Nghịch đảo của một hàm, f, chính nó là một hàm. Vì vậy, định nghĩa nghịch đảo của "hàm" có thể là:
Một hàm bị giới hạn là một hàm không thể được phân tách thành các hàm nhỏ hơn, và do đó không có giới hạn khác 0 [tức là nó không có điểm kết thúc]. Một hàm "không kết thúc" hoặc "có giới hạn" là một hàm không bao giờ có thể trả về 0; đúng hơn giá trị của nó chỉ thay đổi giữa 0 và 1 như một sự thay thế cho 0.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
Un ≤ M, với mọi n ε N*.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
Un ≥ m, với mọi n ε N*.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:
m ≤ Un ≤ M, với mọi n ε N*.
1] Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng
thì:
Thu gọn un, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un.
Ta cũng có thể chặn tổng
bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.
2] Nếu dãy số [un] cho bởi một hệ thức truy hồi thì:
Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
Ta cũng có thể xét tính đơn điệu [nếu có] sau đó giải bất phương trình un+1 un dựa vào đó chặn [un].
3] Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào phương pháp đánh giá [chú ý n N*]
Hàm số bị chặn khi nào
Dãy số bị chặn
♦ Dãy số [un] gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho un < M ∀n ∈ ¥.
♦ Dãy số [un] gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho un > m∀n ∈ ¥..
♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un | < M ∀n ∈ ¥..
♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số [un] ta xét : kn=[un+1-un]
* Nếu kn > 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy [un] tăng
* Nếu kn < 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy [un] giảm.
Khi un > 0 ∀n ∈ ¥ ta có thể xét
* Nếu tn > 1 ⇒ dãy số [un] tăng
* Nếu tn < 1 ⇒ dãy số [un] giảm
♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.
Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của các dãy số [un] có
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
* Với n N* ta có :
Nên dãy số bị chặn dưới bởi 0
+ Lại có;
với n N*
Nên dãy [un] bị chặn trên bởi 2.
=> dãy số [un]bị chặn.
Chọn A.
Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của các dãy số [un] biết un = [1]n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Ta có:
=> 1 un 1 với mọi n nên [un] là dãy số bị chặn.
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của các dãy số [un] biết un = 4n 2
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Ta có n 1 nên 4n 2 2
=> dãy số [un] bị chặn dưới bởi 2 và dãy [un] không bị chặn trên.
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho dãy số [un] xác định bởi
. Chọn mệnh đề sai.
A. Dãy số [un] bị chặn trên.
B.Dãy số [un] bị chặn dưới.
C. Dãy số tăng.
D. Dãy số không bị chặn.
Hướng dẫn giải:
+ Xét hiệu:
Vậy [un] là dãy số tăng.
+ Ta có:
suy ra n N*; un < 2 nên [un] bị chặn trên. [1]
Vì [un] là dãy số tăng nên
=> [un] bị chặn dưới. [2]
Từ [1] và [2] suy ra [un] bị chặn.
=> D sai.
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho dãy số [un] xác định bởi un = 1 + [n 1] . 2n. Chọn mệnh đề sai.
A. Dãy số tăng.
B. Công thức truy hồi của dãy số là:
C. 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1,5,17, 49, 129.
D. Dãy số bị chặn trên.
Hướng dẫn giải:
+ Ta có:
=> C đúng
+ Xét hiệu:
Vậy công thức truy hồi:
+ Ta có: un+1 un = [n+1]. 2n > 0
Suy ra dãy số [un] là dãy số tăng.
Ta có: un = 1 + [n 1].2n 1 với n 1
=> [un] là dãy số bị chặn dưới.
=> D sai.
Chọn D.
Quảng cáo
Ví dụ 6: Cho dãy số [un] xác định bởi
. Chọn mệnh đề đúng.
A. Dãy số [un] bị chặn trên ; không bị chặn dưới.
B. Dãy số [un] bị chặn dưới ; không bị chặn trên.
C.Dãy số [un] không bị chặn.
D. Dãy số [un] bị chặn.
Hướng dẫn giải:
Công thức un được viết lại:
Với mọi n N* ta có : 2n2 + 4 > 0
=> [un] bị chặn trên bởi
+ Lại có : với mọi n N* thì : n2 + 1 > 0 và 2n2 + 4 > 0
=>[un] bị chặn dưới bởi 0.
Vậy dãy số [un] là bị chặn
Chọn D.
Ví dụ 7: Cho dãy số [un] xác định bởi
. Chọn mệnh đề sai.
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
D.Dãy số bị chặn.
Hướng dẫn giải:
* Ta viết lại:
Xét hiệu số:
Vậy dãy số [un] là dãy số tăng.
* Ta có:
Suy ra [un] là một dãy số bị chặn.
Kết luận [un] là một dãy số tăng và bị chặn.
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho dãy số [un] được xác định bởi un = n2 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.
A. Công thức truy hồi của dãy số là :
B. Dãy số bị chặn dưới.
C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là
D. Dãy số bị chặn trên.
Hướng dẫn giải:
* Ta có: u1 = 12 4.1 + 3 = 0
Xét hiệu:
Vậy công thức truy hồi:
* Ta có: un = n2 4n + 4 1 = [n 2]2 1 1 với n 1
Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.
*Ta có:
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho dãy số [un] xác định bởi
. Tìm mệnh đề đúng nhất ?
A. Dãy số bị chặn trên ; không bị chặn dưới.
B. Dãy số bị chặn dưới ; không bị chặn trên.
C. Dãy số không bị chặn.
D. Dãy số bị chặn.
Hướng dẫn giải:
+ Rõ ràng un > 0 với mọi n nên [un] bị chặn dưới bởi 0.
+ Lại có:
Suy ra:
=> [un] bị chặn trên.
Kết luận [un] bị chặn.
Chọn D.
Ví dụ 10: Cho dãy số [un] xác định bởi
. Chọn mệnh đề đúng ?
A. Dãy số bị chặn.
B. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
D. Dãy số không bị chặn .
Hướng dẫn giải:
* Rõ ràng un > 0 với n N* nên [un] bị chặn dưới bởi 0.
* Có
. Do đó:
với mọi n.
=> [un] bị chặn trên bởi 2.
Kết luận [un] bị chặn.
Chọn A.
Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un] biết
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
* Với mọi n N* ; ta có un > 0. Xét tỉ số
=> un+1 < un nên dãy [un] là dãy số giảm.
* Vì dãy số [un] là dãy số giảm nên un u1 = 2 n
Suy ra: 0 < un 2 n N*
=> dãy [un] là dãy bị chặn.
Chọn D .
Ví dụ 12: Cho dãy số
. Xét dãy số yn = xn+1 xn. Khẳng định nào đúng về dãy [yn]
A. Tăng,bị chặn B. Giảm,bị chặn
C. Tăng,chặn dưới D. Giảm,chặn trên
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Do đó:
Ta chứng minh dãy [yn] tăng.
Ta có:
Ta chứng minh dãy [yn] bị chặn.
Trước hết ta chứng minh: xn 4[n1] [1] với n 2
* Với n = 2, ta có: x2 = 4x1 = 4 nên [1] đúng với n = 2.
* Giả sử [1] đúng với n = k, tức là: xk 4[k1]. Ta chứng minh đúng với n = k + 1
Nên [1] đúng với n= k+1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra [1] đúng
Ta có:
Vậy bài toán được chứng minh.
Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy số [un]: un = 4 3n n2
A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Ta có
=> dãy số [un] bị chặn trên; dãy [un] không bị chặn dưới.
Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số [un] biết
A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có:
+ Với mọi n N* ta có 2n > 0 và n2 n + 1 > 0
nên un > 1 [1]
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: n2 + 1 2n
=> n2 n + 1 n nên
=> un 3 [2].
Từ [1] và [2] suy ra dãy số [un] là bị chặn.
Câu 3: Xét tính bị chặn của dãy số [un] biết
A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
* Với mọi n nguyên dương ta có:
* Lại có:
với mọi n N*
Vậy 0 < un 2 nên dãy số [un] là dãy số bị chặn.
Câu 4: Cho dãy số [un] xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề đúng?
A. Dãy số bị chặn trên. B. Dãy số bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn. D. Dãy số không bị chặn.
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
* Với mọi n N* ta có: un > 0
=> [un] bị chặn dưới bởi 0.
Lại có:
Suy ra
=> [un] bị chặn trên bởi
Kết luận [un] bị chặn.
Câu 5: Cho dãy số [un] xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề sai?
A. Dãy số bị chặn
B. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.
D. Dãy số không bị chặn.
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
+ Với mọi n N* ta có un > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0.
+ Lại có:
Suy ra:
Nên [un] bị chặn trên.
Kết luận [un] bị chặn.
Câu 5: Cho dãy số [un] xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề sai?
A. Với mọi n N*; un < 15
B. Dãy số [un] là dãy số tăng.
C. Dãy số [un] bị chặn dưới.
D. Dãy số [un] bị chặn.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
* Ta dùng quy nạp chứng minh: với mọi n N*; un < 15
Ta có u1 = 1 < 15 nên đúng với n= 1.
Giả sử đúng với n = k; k N* tức là có: uk < 15.
khi đó
Vậy un < 15 với n N*. [1]
* Ta có
[do [1]]
=> dãy số [un] tăng
=> un u1 = 1 nên [un] bị chặn dưới bởi 1.
Câu 6: Cho dãy số [un] xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề đúng?
A. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
B. Dãy số bị chặm dưới nhưng không bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không bị chặn.
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
*Với k = 2,3...n ta có
Do đó:
Vế cộng vế suy ra:
=>[un] bị chặn trên bởi 2.
* Mặt khác; với n N* ta có: un > 0
=> [un] bị chặn dưới bởi 0.
=> [un] bị chặn.
Câu 7: Cho dãy số [un] xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau .
A. Dãy số [un] bị chặn.
B.Dãy số [un] không bị chặn .
C. Dãy số [un] bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
D. Dãy số [un] bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
*Với mọi n N* ta có:
nên [un] bị chặn dưới bởi 0.
* Lại có:
Mà:
Suy ra: un < 3 với mọi n nên dãy số [un] bị chặn trên bởi 3.
Kết luận: dãy số [un] bị chặn.
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un] biết
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
* Ta có:
với mọi n 1.
Suy ra un+1 > un n 1 dãy [un] là dãy tăng.
* Mặt khác:
Với n 1; thì
Lại có với n 1 thì
Suy ra:
Vậy dãy [un] là dãy bị chặn.
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un] biết
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
* Ta có:
=> un+1 > un n > 1 => dãy [un] là dãy số tăng.
* Lại có:
dãy [un] bị chặn dưới.
Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un] biết
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
+ Với mọi n N* ta có : un > 0 . Xét tỉ số :
=> un+1 < un với mọi n.
=> Dãy số [un] là dãy số giảm.
+ Mặt khác : [1 + n + n2] > 1 với n N*
Vậy 0 < un < 1 nên dãy [un] là dãy bị chặn.
Câu 11: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
*Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 < un 2
Điều này đúng với n = 1.
Giả sử đúng với n = k + 1 tức là: 1 < uk 2. Ta chứng minh đúng với n = k+ 1.
Thật vậy ta có:
nên ta có đpcm.
Mà
Vậy dãy [un] là dãy giảm và bị chặn.
Câu 12: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
*Trước hết ta chứng minh 1 < un < 4
Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.
Giả sử đúng với n = k tức là: 1 < uk < 4. Ta chứng minh đúng với n = k + 1
Thật vậy: 1 < uk+1 = uk + [uk-1] < 4 + 4 = 4
Vậy dãy [un] là bị chặn.
*Ta chứng minh [un] là dãy tăng
Ta có: u1 < u2, giả sử un+1 < un, n k.
Khi đó:
=> dãy [un] là dãy tăng.
Vậy dãy [un] là dãy tăng và bị chặn.