Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị có tham số m

Câu 1

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] thuộc đoạn \[\left[ { 2017;2018} \right]\] để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} m{x^2} + \left[ {m + 2} \right]x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left[ {0; + \infty } \right]$.

Câu 2

Thông hiểu

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị như hình vẽ bên.

Trên đoạn \[\left[ { 3;\,3} \right],\] hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

Câu 3

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = {x^3} 3m{x^2} + 2\] có hai điểm cực trị \[A\], \[B\] sao cho \[A\], \[B\] và \[M\left[ {1; 2} \right]\] thẳng hàng.

Đáp án câu 1

b

Gợi ý

Hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\] \[ \Leftrightarrow \] phương trình \[y = 0\] có hai nghiệm dương phân biệt.

Đáp án chi tiết

Ta có: $y = {x^2} 2mx + m + 2$

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow y = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} m 2 > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 0\\P = {x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {m + 1} \right]\left[ {m 2} \right] > 0\\2m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$

Mà \[m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { 2017;2018} \right] \Rightarrow m = \left\{ {3;4;5;2018} \right\}\]

Vậy có \[2016\] giá trị.

Đáp án cần chọn là: b

Đáp án câu 2

d

Gợi ý

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các điểm cực trị của hàm số.

Đáp án chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn \[\left[ { 3;\,\,3} \right],\] hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có 3 điểm cực trị là \[\left[ { 1;\,\,1} \right];\,\,\,\left[ {1; 3} \right];\,\,\left[ {2;\,\,3} \right].\]

Đáp án cần chọn là: d

Đáp án câu 3

d

Gợi ý

Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Sử dụng điều kiện thẳng hàng của ba điểm tìm \[m\]

Đáp án chi tiết

Ta có \[y = 3{x^2} 6mx = 3x\left[ {x 2m} \right];{\rm{ }}y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\]

Hàm số có hai điểm cực trị \[ \Leftrightarrow y = 0\] có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 \ne 2m \Leftrightarrow m \ne 0.$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left[ {0;2} \right]$ và $B\left[ {2m;2 4{m^3}} \right]$.

Suy ra $\overrightarrow {MA} = \left[ { 1;4} \right]$, $\overrightarrow {MB} = \left[ {2m 1;4 4{m^3}} \right]$.

Theo giả thiết \[A\], \[B\] và \[M\] thẳng hàng $ \Leftrightarrow \dfrac{{2m 1}}{{ 1}} = \dfrac{{4 4{m^3}}}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left[ {L} \right]\\m = \pm \sqrt 2 {\rm{ }}\left[ {TM} \right]\end{array} \right..$

Đáp án cần chọn là: d