Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian,vận dụng cao, thông hiểu, bám sát đề thi THPTQG

phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian,vận dụng cao, thông hiểu, bám sát đề thi THPTQG

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’

Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng

 chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳng ∆’. Khi đó 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot \left[ ABCD \right]$,đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=5a$ và $BC=4a$. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Hướng dẫn giải

Ta có : $BC//\left[ SAD \right]$

Do đó: $d\left[ BC;SD \right]=d\left[ BC;\left[ SAD \right] \right]=d\left[ B;\left[ SAD \right] \right]$

Mà :

Ta có: $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}-16{{a}^{2}}}=3a$

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Ta có: 

Ví dụ 1: Hình chộp chữ nhật ABCD.ABCD’ có $AB=3;AD=4;AA'=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D’ bằng bao nhiêu?

Ta có: $\left[ ABCD \right]//\left[ A'B'C'D' \right]$

$AC\subset \left[ ABCD \right]$ và $B'D'\subset \left[ A'B'C'D' \right]$

Nên $d\left[ AC,B'D' \right]=d\left[ \left[ ABCD \right];\left[ A'B'C'D' \right] \right]=AA'=5$

Bài tập tự giải: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE và BC.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC theo a.

Đáp số: $d\left[ MN,AC \right]=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó. Ta xét 2 trường hợp sau:

1.∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

- Chọn mặt phẳng

chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I

- Trong mặt phẳng

 kẻ \[IJ\bot \Delta '\]

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ và $d\left[ \Delta ;\Delta ' \right]=IJ$

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta CDN=\Delta DAM\left[ cgc \right]$

Kẻ $HK\bot SC\Rightarrow HK\bot MD\Rightarrow DK=d\left[ DM,SC \right]$

Ta có:

$\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}$

2. ∆ và ∆’ vừa chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ theo một trong hai cách sau đây:

Cách 1:

+ Chọn mặt phẳng 

chứa ∆ và song song với ∆’

+ Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống

bằng cách lấy điểm  . Ta dựng đoạn  , lúc đó đường thẳng d đi qua N và song song với  ∆

+ Gọi $H=d\cap ~\Delta ',HK//MN$

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của  ∆  và  ∆’ và $d\left[ ~\Delta ;\Delta ' \right]=HK=MN$

Cách 2:

+ Chọn mặt phẳng

 tại I

+ Tìm hình chiếu của d xuống ∆’ xuống mặt phẳng

+ Trong mặt phẳng

, dựng $IJ\bot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HM\bot JI$

Khi đó HM là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’, và $d\left[ \Delta ,\Delta ' \right]=HM=JI$

Bài tập tự giải: Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc $60{}^\circ $ , nhận $AB=a$ làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C với $BC=a$. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Tính $d\left[ AC,BD \right]$

Đáp án: $d\left[ AC;BD \right]=\frac{a\sqrt{93}}{31}$

Bài viết gợi ý:

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ chia sẻ đến các bạn phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian. Đây là dạng bài cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi và là cơ sở để giải những bài toán nâng cao hơn. Bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức về dạng này và tự tin hơn khi đối mặt với nó. Cùng bắt đầu bài học ngay nhé!

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song được tính đơn giản bằng khoảng cách từ 1 điểm của đường này đến đường còn lại. [Cũng là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng song song].

Đoạn vuông góc chung

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau còn có thể nói là khoảng cách giữa một đường với mặt phẳng song song với đường đó và chứa đường còn lại.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau còn có thể nói là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song chứa 2 đường thẳng đó.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Kí hiệu: d[a,b] khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b.

Giữa 2 đường thẳng có vị trí khác nhau thì sẽ có các cách tính phù hợp.

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song, ta có thể làm 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Lấy một điểm bất kì trên đường thẳng này, sau đó tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.

==> Tham khảo ngay bài viết Cách tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian nếu bạn còn chưa nắm rõ cách tính nhé!

Cách 2: Giả sử có hai đường thẳng d_1 và d_2 song song với nhau có phương trình lần lượt là:

• d_1:\left\{\begin{matrix} x=x_1+at \\ y=y_1+bt \\ z=z_1+ct \end{matrix}\right.
• d_2:\left\{\begin{matrix} x=x_2+kat \\ y=y_2+kbt \\ z=z_2+kct \end{matrix}\right.

Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng này sẽ được tính bằng công thức:

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong không gian

d[d_1,d_2]=\frac{|\vec {M_1M_2} \wedge \vec u|}{|\vec u |}

Trong đó:
M_1,M_2: 2 điểm bất kì lần lượt thuộc 2 đường d_1,d_2.
\vec u: Vec tơ chỉ phương của đường bất kì

Giả sử có hai đường thẳng d_1 và d_2 chéo nhau có phương trình lần lượt là:

• d_1:\left\{\begin{matrix} x=x_1+a_1t \\ y=y_1+b_1t \\ z=z_1+c_1t \end{matrix}\right.
• d_2:\left\{\begin{matrix} x=x_2+a_2t \\ y=y_2+b_2t \\ z=z_2+c_2t \end{matrix}\right.

Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng này sẽ được tính bằng công thức:

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

d[d_1,d_2]=\frac{|[\vec u_1 \wedge \vec u_2] \vec {M_1M_2}|}{|\vec u_1 \wedge \vec u_2|}

Trong đó:
M_1,M_2: Lần lượt là 2 điểm bất kì thuộc d_1,d_2
\vec u_1,\vec u_2: Lần lượt là 2 vecto chỉ phương của d_1,d_2

Lưu ý: Để sử dụng công thức này, trước tiên ta cần phải xét xem chúng có song song hay trùng nhau hay không. Vì nếu song song hay trùng nhau thì mẫu số sẽ bằng 0. Còn nếu kết quả ra 0 thì 2 đường thẳng đó cắt nhau => Khoảng cách là 0.

Xem ví dụ dưới đây:

Cho 2 đường thẳng d_1,d_2 chéo nhau có phương trình lần lượt là: d_1:\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=1-t \end{matrix}\right. và d_2:\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=3-t \\ z=2-2t \end{matrix}\right..
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d_1,d_2

Thử sức ngay với những bài tập dưới đây để ôn luyện lại kiến thức ở trên nhé!

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian