- LG a
- LG b
Cho tam giác đềuABCcạnha. Gọi[P]là mặt phẳng qua cạnhBCvà vuông góc vớimp[ABC].Gọi [C] là đường tròn đường kínhBCtrongmp[P]vàSlà điểm bất kì thuộc [C]. KhiSthay đổi trên [C], chứng minh rằng :
LG a
\[S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}\] không đổi
Lời giải chi tiết:
Vì \[\widehat {BSC} = \] \[{90^ \circ }\] nên \[S{B^2} + S{C^2} = B{C^2} = {a^2}.\]
GọiHlà trung điểm củaBCthì
\[SH = {1 \over 2}BC = {a \over 2}\] và \[AH \bot BC.\]
Mặt khác, \[\left[ P \right] \bot mp\left[ {ABC} \right]\] và cắt mặt phẳng này theo giao tuyếnBCnên \[AH \bot [P].\]
Từ đó \[S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{3{a^2}} \over 4} = {a^2}.\]
Vậy \[S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\]
LG b
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABClà điểm cố định [ nếuSkhácB, C].
Lời giải chi tiết:
VìHB = HC = HS, \[AH \bot mp[SBC]\] nên đường thẳngAHlà trục của đường tròn ngoại tiếp \[\Delta SBC\].
Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABCthuộcAH. Mặt khác,ABClà tam giác đều nên tâm mặt cầu đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABCvà bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Điều ấy khẳng định rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABClà cố định.