- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:
LG a
\[y = 3x - 5;\]
Phương pháp giải:
Xem lại định nghĩa đạo hàmtại đây.
Lời giải chi tiết:
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {x + \Delta x} \right] - f\left[ x \right]\\ = 3\left[ {x + \Delta x} \right] - 5 - \left[ {3x - 5} \right]\\ = 3x + 3\Delta x - 5 - 3x + 5\\ = 3\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\end{array}\]
LG b
\[y = 4{x^2} - 0,6x + 7;\]
Lời giải chi tiết:
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {x + \Delta x} \right] - f\left[ x \right]\\ = \left[ {4{{\left[ {x + \Delta x} \right]}^2} - 0,6\left[ {x + \Delta x} \right] + 7} \right]\\ - \left[ {4{x^2} - 0,6x + 7} \right]\\ = 8x\Delta x + 4{\left[ {\Delta x} \right]^2} - 0,6\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x + 4\Delta x - 0,6\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x - 0,6\end{array}\]
LG c
\[y = 4x - {x^2};\]
Lời giải chi tiết:
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {x + \Delta x} \right] - f\left[ x \right]\\ = \left[ {4\left[ {x + \Delta x} \right] - {{\left[ {x + \Delta x} \right]}^2}} \right] - \left[ {4x - {x^2}} \right]\\ = 4\Delta x - 2x\Delta x - {\left[ {\Delta x} \right]^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x - \Delta x\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x\end{array}\]
LG d
\[y = \sqrt {3x + 1} ;\]
Lời giải chi tiết:
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {x + \Delta x} \right] - f\left[ x \right]\\ = \sqrt {3\left[ {x + \Delta x} \right] + 1} - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left[ {x + \Delta x} \right] + 1 - \left[ {3x + 1} \right]}}{{\sqrt {3\left[ {x + \Delta x} \right] + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left[ {x + \Delta x} \right] + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left[ {x + \Delta x} \right] + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left[ {x + \Delta x} \right] + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left[ {x + 0} \right] + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\]
LG e
\[y = {1 \over {x - 2}};\]
Lời giải chi tiết:
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {x + \Delta x} \right] - f\left[ x \right]\\ = \dfrac{1}{{x + \Delta x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 2}}\\ = \dfrac{{x - 2 - x - \Delta x + 2}}{{\left[ {x + \Delta x - 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\\ = \dfrac{{ - \Delta x}}{{\left[ {x + \Delta x - 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left[ {x + \Delta x - 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 1}}{{\left[ {x + \Delta x - 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{\left[ {x + 0 - 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\end{array}\]
LG f
\[y = {{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y = \dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left[ {1 - \sqrt x } \right]}}{{1 - \sqrt x }}\] \[ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1\]
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {x + \Delta x} \right] - f\left[ x \right]\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - 1 - \left[ {\dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1} \right]\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\left[ {1 - \sqrt x } \right] - 2\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]}}{{\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]}}\\ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right]}}{{\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]}}\\ = \dfrac{{2\left[ {x + \Delta x - x} \right]}}{{\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]\left[ {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right]}}\\ = \dfrac{{2\Delta x}}{{\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]\left[ {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right]}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]\left[ {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right]}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{2}{{\left[ {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]\left[ {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right]}}\\ = \dfrac{2}{{\left[ {1 - \sqrt x } \right]\left[ {1 - \sqrt x } \right]\left[ {\sqrt x + \sqrt x } \right]}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left[ {1 - \sqrt x } \right]}^2}}}\end{array}\]