- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho phương trình bậc hai
\[a{x^2} - 2[a + 1]x + {[a + 1]^2}a = 0\] [E]
Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm [nếu có] của phương trình trên.
LG a
Với giá trị nào của a, phương trình [E] có nghiệm?
Lời giải chi tiết:
+] TH1: a=0 phương trình trở thành \[ -2x=0\Leftrightarrow x=0\] nên phương trình có nghiệm.
+] TH2: \[a\ne 0\].
Phương trình có nghiệm
\[\Leftrightarrow \Delta ' = {[a + 1]^2} - {[a + 1]^2}{a^2} \] \[= {[a + 1]^2}[1 - {a^2}] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - 1 \le a \le 1,a \ne 0\].
Vậy với \[- 1 \le a \le 1\] thì phương trình có nghiệm.
LG b
Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của [E].
Lời giải chi tiết:
Với \[-1\le a\le 1,a\ne 0\] ta có:
\[P = {[a + 1]^2}\]
\[P = 0 \Leftrightarrow a = - 1\], khi đó \[{x_1} = {x_2} = 0\].
\[P > 0,\forall a \ne - 1\], khi đó \[{x_1},{x_2}\] cùng dấu.
Xét \[a\ne -1, a\ne 0\] ta có: \[S = \dfrac{{2[a + 1]}}{a}\]
+] \[S > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\a < - 1\end{array} \right.\]
Kết hợp điều kiện \[ - 1 \le a \le 1,\] \[a \ne 0,a \ne - 1\] ta được \[S < 0 \Leftrightarrow 0 < a \le 1\]
Khi đó hai nghiệm cùng dương.
+] \[S < 0 \Leftrightarrow - 1 < a < 0\], khi đó hai nghiệm cùng âm.
Vậy:
Với \[0 < a \le 1\] thì hai nghiệm của phương trình [E] đều dương;
Với \[ - 1 4{x_2} = \dfrac{{2[a + 1]}}{a}\] \[\Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{{2a}}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = {[a + 1]^2}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \] \[= > 3x_2^2 = {[a + 1]^2}.\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow 3.{\left[ {\dfrac{{a + 1}}{{2a}}} \right]^2} = {\left[ {a + 1} \right]^2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{3{{\left[ {a + 1} \right]}^2}}}{{4{a^2}}} - {\left[ {a + 1} \right]^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {a + 1} \right]^2}\left[ {\dfrac{3}{{4{a^2}}} - 1} \right] = 0\\
\Rightarrow {\left[ {a + 1} \right]^2}\left[ {3 - 4{a^2}} \right] = 0
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]
Với a = - 1 ta có \[{x_1} = {x_2} = 0\];
Với \[a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]ta có: \[{x_2} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}\];
Với \[a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]ta có: \[{x_2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{2}\];