- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương k ta đều có
\[\dfrac{1}{{\left[ {k + 1} \right]\sqrt k }} < 2\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\left[ {k + 1} \right]\sqrt k }} = \dfrac{{\sqrt k }}{{\left[ {k + 1} \right]k}} = \sqrt k \left[ {\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k + 1}}} \right]\\ = \sqrt k \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt k }} + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right]\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right]\\ = \left[ {1 + \dfrac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }}} \right]\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right] < 2\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right]\end{array}\]
LG b
Áp dụng. Chứng minh rằng
\[\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left[ {n + 1} \right]\sqrt n }} < 2.\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left[ {n + 1} \right]\sqrt n }} < 2\left[ {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right]\\ = 2\left[ {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right] < 2\end{array}\]