BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT
I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩncó dạng tổng quát là
trong đólà những số thực đã cho,vàkhông đồng thời bằngvàlà các ẩn số.
II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độtập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trìnhđược gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm [hay biểu diễn miền nghiệm] của bất phương trìnhnhư sau [tương tự cho bất phương trình]
Bước 1.Trên mặt phẳng tọa độvẽ đường thẳng:
Bước 2.Lấy một điểmkhông thuộc[ta thường lấy gốc tọa độ]
Bước 3.Tínhvà so sánhvới
Bước 4.Kết luận:
Nếuthì nửa mặt phẳng bờchứalà miền nghiệm của
Nếuthì nửa mặt phẳng bờkhông chứalà miền nghiệm của
Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trìnhbỏ đi đường thẳnglà miền nghiệm của bất phương trình
III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩnmà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
B. BÀI TẬP
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
Ví dụ 1:Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a]b]
Lời giải
a] Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng. Ta cóchia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm. Ta thấy [1; 0] là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ [d] và chứa điểm[Miền không được tô màu trên hình vẽ].
b] Ta có
Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng
Xét điểm, thấykhông phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ[không kể đường thẳng] và không chứa điểm[Miền không được tô màu trên hình vẽ].
Ví dụ 2:Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
a]x+y-20x-3y+30 b]
Lời giải
a] Vẽ các đường thẳngtrên mặt phẳng tọa độ
Xét điểm, thấykhông phải là nghiệm của bất phương trìnhvàdo đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳngvà.
b] Vẽ các đường thẳngvàtrên mặt phẳng tọa độ
Xét điểm, thấylà nghiệm của bất phương trìnhvà. Do đóthuộc miền nghiệm của bất phương trìnhvà.
Xét điểmta thấylà nghiệm của bất phương trìnhdo đó điểmthuộc miền nghiệm bất phương trình.
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng
DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ.
Bài toán:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thứcvớinghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
Bước 1:Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệmlà đa giác.
Bước 2:Tính giá trị củatương ứng vớilà tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3:Kết luận:
Giá trị lớn nhất củalà số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
Giá trị nhỏ nhất củalà số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Ví dụ 1:Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Lời giải
Phân tích bài toán:Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là[phút], trên truyền hình là[phút]. Chi phí cho việc này là:[đồng]
Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:
hay
Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có:.
Đồng thời dolà thời lượng nên. Hiệu quả chung của quảng cáo là:.
Bài toán trở thành:Xác địnhsao cho:đạt giá trị lớn nhất.
Với các điều kiện[*]
Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình [*]
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình [*] là phần mặt phẳng[tam giác] không tô màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất củađạt tại một trong các điểm
Ta cósuy ra giá trị lớn nhất củabằngtạitức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.
Ví dụ 2:Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
Lời giải
Phân tích bài toán:Gọi[] là số kg loại I cần sản xuất,[] là số kg loại II cần sản xuất.
Suy ra số nguyên liệu cần dùng là, thời gian làcó mức lời là
Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy rahay,hay.
Bài toán trở thành:Tìmthoả mãn hệ[*] sao chođạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình [*] là phần mặt phẳng[tứ giác] không tô màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất củađạt tại một trong các điểm. Ta có
suy ra giá trị lớn nhất củalàkhi.
Vậy cần sản xuấtkg sản phẩm loại I vàkg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.