SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNGCHUYÊN ĐỀ DẠY THÊMTRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNGGV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠNCHUYÊN ĐỀPHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ- Các phương pháp giải PT vô tỉ 1] Phương pháp lũy thừa.2] Phương pháp đặt ẩn phụ.3] Phương pháp biến đổi thành tích.4] Phương pháp nhân liên hợp5] Phương pháp đánh giá.6] Phương pháp hàm số.- Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1] Phương pháp lũy thừa.2] Phương pháp đặt ẩn phụ3] Phương pháp nhân liên hợp4] Phương pháp đánh giá.Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường SơnSố điện thoại : 0988.503.138Gmail : ÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈI. Phương pháp lũy thừa.- Nêu các dạng phương trình cơ bản.Bài 1 Giải các phương trìnha]23 2 1x x x− + = +b]23 9 1 2x x x− + = −c]22 3 4x x x− = −d]2 2[ 3] 4 9x x x− − = −e]3 7 2 8x x x+ − − = −f]2 3 5 2x x x+ − − = −g]2 2[ 3] 3 2 8 15x x x x x− − + = − +h]2 2[ 4] 10 2 8x x x x+ − = + −i]23 2 13 2xx xx− − = −−j]24 3 14 3xx xx− − = −−Bài 2 Giải phương trình a]2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +b]2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +c]2 2 23 2 4 3 5 4x x x x x x− + + − + = − +Bài 3 Giải phương trìnha]3 3 35 6 2 11x x x+ + + = +b]3 3 31 1 5x x x+ + − =c]3 3 32 1 1 3 1x x x− + − = + 76x =[Phải thử , loại nghiệm] Bài 4 Giải phương trình a]1 4 9 0x x x x− + − + + + =. Bình phương 2 lần. nghiệm 0x=b]1 16 4 9x x x x+ + + = + + + Bình phương 2 lần. nghiệm 0x=c]3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +II. Phương pháp đặt ẩn phụ.1] Dạng 1 : Phương trình có chứa [ ] à [ ]f x v f xBài 1 Giải phương trình.a]2[ 1][ 4] 5 5 28x x x x+ + = + +Nghiệm 4; 9−b]2 25 10 1 7 2x x x x+ + = − −c]2[4 ][6 ] 2 12x x x x− + = − −d]23[ 5] 2 5 2 2x x x x+ = + − −Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệma]22 4 [3 ][1 ] 2x x x x m− + + − + = −[ 1;11]m∈ −b]22 5 4 [3 ][1 2 ] 2x x x x m− + + − + = −41 56 2[ 1; ]8m+∈ −Bài 3 Giải phương trình : a]5 15 2 422x xxx+ = + +b]3 13 2 722x xxx+ = + −2] Dạng 2 : Phương trình có chứa àA B v AB+Bài 4 Giải phương trìnha]22 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x+ + + = + + + −Nghiệm 25 6 17−b]27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − = −c]24 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + −d]23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +Bài 5 [B – 2011] Giải phương trình : 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = −- Đặt 2 2 2t x x= + − −. Nghiệm 65x =Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệma]21 8 7 8x x x x m+ + − = − + + +[ ]6 2 9;32m ∈−b]3 6 [3 ][6 ]x x x x m+ + − − + − =c]23[ 1 2 1 ] 2 1 2x x m x x x+ + − = + + + −3] Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.Bài 7 Giải phương trình a]2 2 23 2 1 2 2x x x x x+ − + = + +Đặt 22t x= +nghiệm 3;1t x= −b]2 2[ 1] 2 3 1x x x x+ − + = +c]2 21 2 . 2x x x x− = −Nghiệm 1 2x = ±d]2 23 48 [3 10] 15x x x x− + = − +e]2 22[ 1]. 2 1 2 1x x x x x− + − = − −f]2 24 [ 2]. 2 15 39x x x x x+ = + − − +g]2 2[1 4 ] 4 1 8 2 1x x x x− + = + +h]3 3[4 1] 1 2 2 1x x x x− + = + +i]3 33 2 [ 2] 2 1x x x x x+ + = + + +4] Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.Bài 8 Giải phương trình.a]2[ 2] 4 2x x x x− − + = bình phương, chia 2xĐặt 4t xx= +0;5t⇒ = thử lại 4x⇒ =b]2 23 2 2 2 2x x x x x+ − + − − =chia cho x ⇒Nghiệm 2x =c]21 4 1 3x x x x+ + − + =Chia 2 vế cho xvà đặt 1 14;4t x xx= + ⇒ =Bài 9 Giải phương trìnha]2 32[ 2] 5 1x x+ = +b] [Thi thử ninh giang 2013] 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 22 5 2 5 [ 20][ 1]x x x x x− + = − − +-2 22 22[ 4 5] 3[ 4] 5 [ 4][ 4 5]4 5 4 5 5 612 3 5 8;4 4 2x x x x x xx x x xxx x⇔ − − + + = + − −− − − − +⇔ + = ⇔ =+ +c]2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +- Chuyển vế, bình phương ta được : 2 23[ 5 14] 4[ 5] 7 [ 5 14][ 5]x x x x x x− − + + = − − +- Chia 2 vế cho [ 5]x + ⇒Nghiệm 61 111373 2 7;18++5] Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.Bài 10a]2 32[ 2] 5 1x x+ = + Đặt 2 2 21; 1 2 2 5a x b x x PT a b ab= + = − + ⇔ + =5 372x±⇒ =b]2 32 5 1 7 1x x x+ − = − Đặt 2 2 21; 1 3 2 7u x v x x PT u v uv= − = + + ⇔ + =4 6x⇒ = ±- Phương trình đã cho có dạng 2 2. . .a u b v c uv+ =trong đó căn thường uv=c]2 2 4 23 1 1x x x x+ − = − + - Cách 1 : Đặt 2 2; 1a x b x= = −. PT2 23a b a b⇔ + = − nghiệm : 1x= ±- Cách 2 : Đặt 2a x=, thay vào PT ta được 3 236 136 200 100 0 1a a a a− + − = ⇔ =d]2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + [Thi thử NG 2013]- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 22 5 2 5 [ 20][ 1]x x x x x− + = − − +2 25 612[ 4 5] 3[ 4] 5 [ 4][ 4 5] 8;2x x x x x x x+⇔ − − + + = + − − ⇔ =e]2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = + Nghiệm : 61 111373 2 7;18++- Chuyển vế, bình phương ta được : 2 23[ 5 14] 4[ 5] 7 [ 5 14][ 5]x x x x x x− − + + = − − +Bài 11. Giải phương trình : 2 22 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +- Điều kiện : 12x ≥. Bình phương 2 vế ta có :[ ][ ][ ][ ][ ][ ]2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − −- Ta có thể đặt : 222 1u x xv x= += − khi đó ta có hệ : 2 21 521 52u vuv u vu v−== − ⇔+=- Do , 0u v ≥. nên [ ]21 5 1 52 2 12 2u v x x x+ += ⇔ + = −[ ] [ ]22 2 1 5 5 1 0x x⇔ + − + + =.-[ ] [ ] [ ]2'1 5 2 5 1 4 1 5 0∆ = − − + = − − + = . ta có : [ ] [ ]2 21 01a ba b a b a b a ba b=− = − ⇔ − + − = ⇔+ =.-2 22 22 2114 5 1 4 4 43344 5 1 2 1 14 5 1 1 2 19xxx x x xx x x xxx x x x==+ + = − +⇔ ⇔ ⇔+ + + − + ==+ + = − − +Bài 13 Giải phương trình : 3 2 33 2 [ 2] 6 0x x x x− + + − =- Đặt 2y x= + ta được phương trình : 3 2 3 3 33 2 6 0 2 3 [ 2] 0x x y x x y x x− + − = ⇔ + − + = 3 2 33 2 0 êm 2; 2-2 32x yx xy y nghi xx y=⇔ − + = ⇔ ⇒ == −- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : 3[ 2][3 2 2] 0x x x x− + − + =- Bài tập tương tự : 3 2 33 2 [ 1] 3 0x x x x− + + − =- Bài tập tương tự : 3 2[3 4 4] 1 0x x x x+ − − + =6] Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trìnhBài 14 Giải phương trình 3 2 1 6 4 [2 1][ 4] 7 0x x x x+ − + + + + + =- Đặt 2 22 12 7 [1]4u xv uv x= +⇔ − == +- Thay vào phương trình có : 3 6 7 0 [2]u v uv− + + =- Thay [1] vào [2] và rút gọn được [2 ][ 3] 0 0v u u v x− + − = ⇔ =Bài 15 [Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình]a]32 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − = [A – 2009] Nghiệm 2x= −b]32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =Nghiệm 2x= −c]2 217 17 9x x x x+ − + − =Nghiệm 1; 4x =d]3 33 3. 35 .[ 35 ] 30x x x x− + − =Nghiệm 2 ; 3x =e]21 122xx+ =−Nghiệm 1 31;2x− ±=f]331 2. 2 1x x+ = −Nghiệm 1 51;2x− ±=g]332 3. 3 2x x+ = −7] Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.Bài 16 [Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt]a]21 4 5x x x+ = + +PT vô nghiệm.b]24 97 728xx x+= +Đặt 4 9 128 2xy+= +c]22 6 10x x x+ = + +Đặt 2 3x y+ = +d]22 1 4 12 5x x x+ = − +Đặt 2 1 2 3x y+ = −III. Phương pháp biến đổi thành tích.Bài 1 Giải phương trìnha]23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +- Phương trình [ 3 2 ][ 1 1] 0 0; 1x x x x⇔ + − + − = ⇔ =b]43 43xx xx+ + =+ HD 2[ 2 2 ] 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =c]2 2 25 972 3 9 4 : [1 3] 9 1;18x x x HD x x x− −+ = − − ⇔ + + = ⇔ =Bài 2 Giải phương trìnha]210 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −b]28 15 3 3 2 5 6x x x x+ + = + + + −c]22 1 [ 1] 0x x x x x x− − − − + − =d]27 442x xxx+ +=+IV. Phương pháp nhân liên hợp.1] Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm 0xhữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành 0[ ] [ ] 0x x P x− =và [ ] 0P x =có thể vô nghiệm hoặc giải được.2] Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị 0x để trong căn là bình phương hoặc lập phương.Bài 1 a] [Khối B 2010] Giải phương trình :23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =- PT 3 1[ 5][ 3 1] 03 1 4 6 1x xx x⇔ − + + + =+ + − +. Nghiệm duy nhất 5x =b] Giải phương trình : 32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + = Nghiệm duy nhất 2x = −- PT 23 36 15[ 2][ + ]=0 2[ 3 2] 2 3 2 4 6 5 4x xx x x⇔ + ⇔ = −− − − + − +c] [ĐT năm 2013 lần 1] Giải phương trình : [ ]234 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x− − − = − −- ĐK: 5x ≤. Pt [ ] [ ]234 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x⇔ + − + − − + − − =0,25-[ ][ ]23 34 27 98[6 2 ][ 3][4 27] 04 10 216 4 9 37 9 37xxx xxx x++⇔ + + + − =+ −− − + −0,25- TH 1. 3 0 3x x+ = ⇔ = − [TMPT]0,25- TH 2. 3x ≠ −- pt [ ]23 336 164 27 04 10 216 4 9 37 9 37xxx x⇔ + + − =+ −− − + −-[ ]2336 164 27 04 10 212 9 37 2xxx⇔ + + − =+ −+ − −- Do 5x ≤ nên 36 164.5 27 012 4VT ≤ + + − =. Đẳng thức xảy ra 5x⇔ =- Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3− và 50,25Bài 2 Giải phương trình a]21 4 1 3x x x+ + = +Nghiệm 10;2x =b]21 9 1 4x x x+ + = +c]2 212 5 3 5x x x+ + = + +. Nghiệm duy nhất 2x =- Nhận xét 2 2512 5 3 53x x x x⇔ + − + = − ⇔ > để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.d]2 215 3 2 8x x x+ = − + +e]2 2 2 23 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + - Nghiệm 2, [ ] 0x P x= = vô nghiệm.Bài 3 Giải phương trình :a]2 22 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +. - Ta có 2 20 [ 4] 0 2 9 2 1VT x x x x x> ⇒ + > ⇒ + + ≠ − + - Nhân với biểu thức liên hợp ta được : - 2 222 22 9 2 1 282 2 9 6 0;72 9 2 1 4x x x xx x x xx x x x x+ + − − + =⇔ + + = + ⇔ =+ + + − + = +b]2 22 1 1 3x x x x x+ + + − + =. Từ phương trình 0x⇒ >-2 22 22 1 1[ 2 1 2 ] [ 1 ] 0 [ 1][ ]=0 12 1 2 1xx x x x x x x xx x x x x x++ + − + − + − = ⇔ − + ⇔ =+ + + − + +. Bài 4. Giải phương trình :2 331 2x x x− + = −- Điều kiện : 32x ≥.- Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình -[ ][ ][ ][ ]22 332 32 2333 3 931 2 3 2 5 3 12 51 2 1 4x x xxx x x xxx x − + ++ − − + − = − − ⇔ − + = − +− + − + - Ta chứng minh : [ ][]222 2 23 333 31 1 21 2 1 4 1 1 3x xx x x+ ++ = +