Tại sao nói phương trình Schrödinger là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử

Phương trình Schrödinger ghi trên bia mộ của Annemarie và Erwin Schrödinger. [Ký hiệu dấu chấm của Newton đối với đạo hàm thời gian được sử dụng.]

Các Phương trình Schrödinger là một tuyến tính phương trình vi phân từng phần điều đó mô tả hàm sóng hoặc chức năng trạng thái của một hệ thống cơ lượng tử.[1]:1–2 Nó là một kết quả quan trọng trong cơ lượng tử, và khám phá ra nó là một bước ngoặt quan trọng trong sự phát triển của chủ đề này. Phương trình được đặt tên theo Erwin Schrödinger, người đã công nhận phương trình vào năm 1925 và xuất bản nó vào năm 1926, tạo cơ sở cho công trình dẫn đến Giải Nobel Vật lý vào năm 1933.[2][3]

Trong cơ học cổ điển, Định luật thứ hai của Newton [F = ma][lưu ý 1] được sử dụng để đưa ra một dự đoán toán học về con đường mà một hệ thống vật lý nhất định sẽ đi theo thời gian sau một tập hợp các điều kiện ban đầu đã biết. Giải phương trình này cho biết vị trí và động lượng của hệ vật chất dưới dạng hàm của ngoại lực F { displaystyle mathbf {F}} trên hệ thống. Hai tham số đó là đủ để mô tả trạng thái của nó tại mỗi thời điểm tức thì. Trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự của định luật Newton là phương trình của Schrödinger.

Khái niệm về một hàm sóng là một cơ bản định đề cơ học lượng tử; hàm sóng xác định trạng thái của hệ thống tại mỗi vị trí không gian và thời gian. Sử dụng các định đề này, phương trình của Schrödinger có thể được rút ra từ thực tế rằng toán tử tiến hóa thời gian phải là nhất thểvà do đó phải được tạo ra theo cấp số nhân của toán tử liên kết tự, đó là lượng tử Người Hamilton. Nguồn gốc này được giải thích dưới đây.

bên trong Diễn giải Copenhagen của cơ học lượng tử, hàm sóng là mô tả đầy đủ nhất có thể được đưa ra về một hệ thống vật lý. Các giải pháp cho phương trình Schrödinger không chỉ mô tả phân tử, nguyên tửvà hạ nguyên tử hệ thống, mà còn hệ thống vĩ mô, thậm chí có thể là toàn bộ vũ trụ.[4]:292ff

Phương trình Schrödinger không phải là cách duy nhất để nghiên cứu các hệ thống cơ lượng tử và đưa ra dự đoán. Các công thức khác của cơ học lượng tử bao gồm cơ học ma trận, được giới thiệu bởi Werner Heisenberg, và công thức tích phân đường dẫn, được phát triển chủ yếu bởi Richard Feynman. Paul Dirac đã kết hợp cơ học ma trận và phương trình Schrödinger thành một công thức duy nhất.

Phương trình

Phương trình phụ thuộc thời gian

Dạng của phương trình Schrödinger phụ thuộc vào tình hình vật lý [xem bên dưới đối với các trường hợp đặc biệt]. Dạng tổng quát nhất là phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian [TDSE], đưa ra mô tả về một hệ thống phát triển theo thời gian:[5]:143

A hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrödinger phi tương quan với V = 0. Nói cách khác, điều này tương ứng với một hạt di chuyển tự do trong không gian trống. Các phần thực sau đó hàm sóng được vẽ ở đây.

Ở đâu là đơn vị tưởng tượng,

ℏ = h 2 π { displaystyle hbar = { frac {h} {2 pi}}}

H ^ { displaystyle { hat {H}}}

| r ⟩ { displaystyle vert mathbf {r} rangle}

Ψ [ r , t ] = ⟨ r | Ψ ⟩ { displaystyle Psi [ mathbf {r}, t] = langle mathbf {r} vert Psi rangle}

Ψ ~ [ p , t ] = ⟨ p | Ψ ⟩ { displaystyle { tilde { Psi}} [ mathbf {p}, t] = langle mathbf {p} vert Psi rangle}

| p ⟩ { displaystyle vert mathbf {p} rangle}

Mỗi hàng trong số ba hàng này là một hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cho một dao động điều hòa. Left: Phần thực [màu xanh] và phần ảo [màu đỏ] của hàm sóng. Đúng: phân phối xác suất tìm hạt có hàm sóng này tại một vị trí nhất định. Hai hàng trên cùng là ví dụ về trạng thái tĩnh, tương ứng với sóng đứng. Hàng dưới cùng là ví dụ về trạng thái không phải một trạng thái tĩnh. Cột bên phải minh họa tại sao trạng thái tĩnh được gọi là "tĩnh".

Ví dụ nổi tiếng nhất là không tương quan Phương trình Schrödinger cho hàm sóng trong không gian vị trí

Ψ [ r , t ] { displaystyle Psi [ mathbf {r}, t]}

V [ r , t ] { displaystyle V [ mathbf {r}, t]}

Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian trong cơ sở vị trí
[Độc thân không tương quan hạt]

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ r , t ] = [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V [ r , t ] ] Ψ [ r , t ] { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi [ mathbf {r}, t] = left [{ frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V [ mathbf {r}, t] right] Psi [ mathbf {r}, t]}

Ở đâu là khối lượng của hạt, và

∇ 2 { displaystyle nabla ^ {2}}

Đây là một phương trình khuếch tán, với một hằng số tưởng tượng hiện diện trong thuật ngữ tạm thời.

Thời hạn "Phương trình Schrödinger" có thể tham chiếu đến cả phương trình tổng quát hoặc phiên bản không tương quan cụ thể. Phương trình tổng quát thực sự là khá tổng quát, được sử dụng trong cơ học lượng tử, cho mọi thứ từ Phương trình Dirac đến lý thuyết trường lượng tử, bằng cách thêm vào các biểu thức đa dạng cho Hamilton. Phiên bản không tương quan cụ thể là một phép gần đúng cổ điển với thực tế và mang lại kết quả chính xác trong nhiều tình huống, nhưng chỉ ở một mức độ nhất định [xem cơ học lượng tử tương đối tính và lý thuyết trường lượng tử tương đối tính].

Để áp dụng phương trình Schrödinger, hãy viết Hamilton cho hệ, tính động năng và thế năng của các hạt cấu thành hệ, sau đó chèn nó vào phương trình Schrödinger. Phương trình vi phân riêng kết quả được giải cho hàm sóng chứa thông tin về hệ thống.

Phương trình không phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian được mô tả ở trên dự đoán rằng các hàm sóng có thể hình thành sóng đứng, gọi là trạng thái tĩnh.[lưu ý 4] Các trạng thái này đặc biệt quan trọng vì nghiên cứu cá nhân của chúng sau này đơn giản hóa nhiệm vụ giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cho bất kì tiểu bang. Trạng thái tĩnh cũng có thể được mô tả bằng một dạng đơn giản hơn của phương trình Schrödinger, phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian [TISE].

Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian [chung]

H ^ ⁡ | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩ { displaystyle operatorname { hat {H}} | Psi rangle = E | Psi rangle}

Ở đâu là hằng số bằng mức năng lượng của hệ. Điều này chỉ được sử dụng khi Người Hamilton bản thân nó không phụ thuộc vào thời gian một cách rõ ràng. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp này, hàm sóng tổng vẫn có sự phụ thuộc vào thời gian.

Bằng ngôn ngữ của đại số tuyến tính, phương trình này là một phương trình eigenvalue. Do đó, hàm sóng là một chức năng của toán tử Hamilton với [các] giá trị riêng tương ứng E { displaystyle E}.

Như trước đây, biểu hiện phổ biến nhất là không tương quan Phương trình Schrödinger cho một hạt chuyển động trong điện trường [nhưng không phải từ trường]:

Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian [hạt đơn không tương quan]

[ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V [ r ] ] Ψ [ r ] = E Ψ [ r ] { displaystyle left [{ frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V [ mathbf {r}] right] Psi [ mathbf {r}] = E Psi [ mathbf {r}]}

với các định nghĩa như trên. Ở đây, dạng toán tử Hamilton xuất phát từ cơ học cổ điển, trong đó Hamilton chức năng là tổng của động năng và thế năng. Đó là,

H = T + V = ‖ p ‖ 2 2 m + V [ x , y , z ] { displaystyle H = T + V = { frac { | mathbf {p} | ^ {2}} {2m}} + V [x, y, z]}

Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian được thảo luận thêm bên dưới.

Nguồn gốc

Người ta có thể suy ra phương trình Schrödinger bắt đầu từ Tiên đề Dirac-von Neumann. Giả sử hàm sóng

ψ [ t 0 ] { displaystyle psi [t_ {0}]}

t 0 { displaystyle t_ {0}}

U ^ [ t ] { displaystyle { hat {U}} [t]}

t > t 0 { displaystyle t> t_ {0}}

Cho rằng

ψ [ t ] { displaystyle psi [t]}

U ^ [ t ] = e − Tôi ℏ H ^ t { displaystyle { hat {U}} [t] = e ^ {- { frac {i} { hbar}} { hat { mathcal {H}}} t}}

H ^ { displaystyle { hat { mathcal {H}}}}

− Tôi H ^ { displaystyle -i { hat { mathcal {H}}}}

U ^ [ t ] ≈ 1 − Tôi ℏ [ t − t 0 ] H ^ . { displaystyle { hat {U}} [t] khoảng 1 - { frac {i} { hbar}} [t-t_ {0}] { hat { mathcal {H}}}.}

Thay thế phần mở rộng ở trên thành [1] sau đó sắp xếp lại,

ψ [ t ] = ψ [ t 0 ] − Tôi ℏ [ t − t 0 ] H ^ ψ [ t 0 ] , { displaystyle psi [t] = psi [t_ {0}] - { frac {i} { hbar}} [t-t_ {0}] { hat { mathcal {H}}} psi [t_ {0}],}

Tôi ℏ ψ [ t ] − ψ [ t 0 ] t − t 0 = H ^ ψ [ t 0 ] . { displaystyle i hbar { frac { psi [t] - psi [t_ {0}]} {t-t_ {0}}} = { hat { mathcal {H}}} psi [t_ {0}].}

Trong giới hạn

t → t 0 { displaystyle t rightarrow t_ {0}}

Tôi ℏ d ψ d t = H ^ ψ , { displaystyle i hbar { frac {d psi} {dt}} = { hat { mathcal {H}}} psi,}

trong đó định nghĩa thông thường cho đạo hàm đã được sử dụng. Người điều hành H ^ { displaystyle { hat { mathcal {H}}}} được sử dụng ở đây biểu thị một Bất kỳ Toán tử Hermitian. Sử dụng nguyên tắc thư từ có thể chỉ ra rằng trong giới hạn cổ điển, sử dụng các đơn vị thích hợp, giá trị kỳ vọng của H ^ { displaystyle { hat { mathcal {H}}}} tương ứng với Hamilton của hệ.[9]

Hàm ý

Năng lượng

Hamilton được xây dựng theo cách tương tự như trong cơ học cổ điển. Tuy nhiên, trong cơ học cổ điển, Hamilton là một hàm có giá trị vô hướng, trong khi trong cơ học lượng tử, nó là một toán tử trên một không gian hàm. Không có gì ngạc nhiên khi giá trị riêng của H ^ { displaystyle { hat {H}}} là các mức năng lượng của hệ thống.

Lượng tử hóa

Phương trình Schrödinger dự đoán rằng nếu các đặc tính nhất định của hệ thống được đo lường, kết quả có thể là lượng tử hóa, nghĩa là chỉ các giá trị rời rạc cụ thể mới có thể xảy ra. Một ví dụ là lượng tử hóa năng lượng: năng lượng của electron trong nguyên tử luôn là một trong những mức năng lượng lượng tử hóa, một sự thật được khám phá qua quang phổ nguyên tử. [Lượng tử hóa năng lượng được thảo luận phía dưới.] Một ví dụ khác là lượng tử hóa mô men động lượng. Đây là một giả thiết trước đó Mô hình Bohr của nguyên tử, nhưng nó là một sự dự đoán của phương trình Schrödinger.

Một kết quả khác của phương trình Schrödinger là không phải mọi phép đo đều cho kết quả lượng tử hóa trong cơ học lượng tử. Ví dụ, vị trí, động lượng, thời gian và [trong một số trường hợp] năng lượng có thể có bất kỳ giá trị nào trong một phạm vi liên tục.[10]:165–167

Đường hầm lượng tử

Đường hầm lượng tử qua một rào cản. Một hạt đến từ bên trái không có đủ năng lượng để leo lên rào cản. Tuy nhiên, đôi khi nó có thể "đào hầm" sang phía bên kia.

Trong vật lý cổ điển, khi một quả bóng được lăn từ từ lên một ngọn đồi lớn, nó sẽ dừng lại và lăn trở lại, vì nó không có đủ năng lượng để vượt qua đỉnh đồi này sang bờ bên kia. Tuy nhiên, phương trình Schrödinger dự đoán rằng có một xác suất nhỏ là quả bóng sẽ đi đến phía bên kia của ngọn đồi, ngay cả khi nó có quá ít năng lượng để lên đến đỉnh. Đây được gọi là đường hầm lượng tử. Nó liên quan đến sự phân bố năng lượng: mặc dù vị trí giả định của quả bóng có vẻ là ở một bên của ngọn đồi, nhưng vẫn có cơ hội tìm thấy nó ở phía bên kia.

Hạt như sóng

Một thí nghiệm về khe kép cho thấy sự tích tụ của các electron trên màn hình khi thời gian trôi qua.

Phương trình Schrödinger phi tương quan là một loại phương trình vi phân từng phần được gọi là phương trình sóng. Do đó, người ta thường cho rằng các hạt có thể biểu hiện hành vi thường là do sóng. Trong một số cách giải thích hiện đại, mô tả này bị đảo ngược - trạng thái lượng tử, tức là sóng, là thực tại vật lý thực sự duy nhất và trong các điều kiện thích hợp, nó có thể cho thấy các đặc điểm của hành vi giống như hạt. Tuy nhiên, Ballentine[11]:Chương 4, tr.99 cho thấy rằng cách giải thích như vậy có vấn đề. Ballentine chỉ ra rằng trong khi người ta cho rằng liên kết sóng vật chất với một hạt đơn lẻ, vẫn chỉ có một Phương trình sóng Schrödinger cho nhiều hạt. Ông chỉ ra:

Nhiễu xạ hai khe là một ví dụ nổi tiếng về các hành vi kỳ lạ mà sóng thường xuyên hiển thị, không liên quan trực quan đến các hạt. Các sóng chồng lên nhau từ hai khe triệt tiêu lẫn nhau ở một số vị trí và củng cố lẫn nhau ở các vị trí khác, gây ra một mô hình phức tạp xuất hiện. Theo trực giác, người ta sẽ không mong đợi mô hình này bắn một hạt duy nhất vào các khe, bởi vì hạt phải đi qua khe này hay khe kia, không phải là sự chồng chéo phức tạp của cả hai.

Tuy nhiên, vì phương trình Schrödinger là một phương trình sóng, một hạt đơn bắn qua một khe kép làm hiển thị cùng một mẫu này [hình bên phải]. Thí nghiệm phải được lặp lại nhiều lần để mẫu phức tạp hiện ra. Mặc dù điều này là phản trực giác, nhưng dự đoán là đúng; đặc biệt, nhiễu xạ điện tử và nhiễu xạ nơtron được hiểu rõ và sử dụng rộng rãi trong khoa học và kỹ thuật.

Có quan hệ với nhiễu xạ, các hạt cũng hiển thị chồng chất và sự can thiệp.

Tính chất chồng chất cho phép hạt ở trong chồng chất lượng tử của hai hoặc nhiều trạng thái lượng tử cùng một lúc. Tuy nhiên, "trạng thái lượng tử" trong cơ học lượng tử có nghĩa là xác suất rằng một hệ thống sẽ, chẳng hạn ở một vị trí x, không phải là hệ thống sẽ thực sự ở vị trí x. Nó không ngụ ý rằng bản thân hạt có thể ở hai trạng thái cổ điển cùng một lúc. Thật vậy, cơ học lượng tử nói chung không thể gán giá trị cho các thuộc tính trước khi đo.

Đo lường và độ không đảm bảo

Trong cơ học cổ điển, tại mọi thời điểm, một hạt có một vị trí chính xác và một động lượng chính xác. Các giá trị này thay đổi về mặt xác định khi hạt chuyển động theo Định luật Newton. Ở dưới cái Diễn giải Copenhagen của cơ học lượng tử, các hạt không có đặc tính xác định chính xác, và khi chúng được đo, kết quả được rút ra ngẫu nhiên từ phân phối xác suất. Phương trình Schrödinger dự đoán phân bố xác suất là gì, nhưng về cơ bản không thể dự đoán kết quả chính xác của mỗi phép đo.

Các Nguyên lý bất định Heisenberg là một tuyên bố về độ không đảm bảo đo cố hữu trong cơ học lượng tử. Nó nói rằng vị trí của một hạt càng được biết chính xác thì động lượng của nó càng được biết chính xác và ngược lại.

Phương trình Schrödinger mô tả sự tiến hóa [xác định] của hàm sóng của một hạt. Tuy nhiên, ngay cả khi hàm sóng được biết chính xác, kết quả của một phép đo cụ thể trên hàm sóng là không chắc chắn.

Giải thích hàm sóng

Phương trình Schrödinger cung cấp cách tính hàm sóng của một hệ thống và cách nó thay đổi động theo thời gian. Tuy nhiên, phương trình Schrödinger không trực tiếp nói lên gì, chính xác, hàm sóng là. Giải thích cơ học lượng tử giải quyết các câu hỏi như mối liên hệ giữa hàm sóng, thực tế cơ bản và kết quả của các phép đo thực nghiệm.

Một khía cạnh quan trọng là mối quan hệ giữa phương trình Schrödinger và chức năng sóng sụp đổ. Lâu đời nhất Diễn giải Copenhagen, các hạt tuân theo phương trình Schrödinger ngoại trừ trong quá trình sụp đổ hàm sóng, trong đó chúng hoạt động hoàn toàn khác nhau. Sự ra đời của thuyết decoherence lượng tử được phép tiếp cận thay thế [chẳng hạn như Diễn giải nhiều thế giới của Everett và lịch sử nhất quán], trong đó phương trình Schrödinger là luôn luôn thỏa mãn, và sự sụp đổ hàm sóng nên được giải thích là hệ quả của phương trình Schrödinger.

Năm 1952, Erwin Schrödinger đã giảng một bài trong đó anh ấy nhận xét,

David Deutsch coi đây là tài liệu tham khảo sớm nhất được biết đến để giải thích nhiều thế giới của cơ học lượng tử, một cách diễn giải thường được ghi nhận là Hugh Everett III,[13] trong khi Jeffrey A. Barrett lấy vị trí khiêm tốn hơn rằng nó chỉ ra một "sự giống nhau trong ... quan điểm chung" giữa Schrödinger và Everett.[14]

Bối cảnh lịch sử và sự phát triển

Tiếp theo Planck tối đalượng tử hóa ánh sáng [xem bức xạ cơ thể đen], Albert Einstein diễn giải của Planck lượng tử được photon, các hạt ánh sángvà đề xuất rằng năng lượng của một photon tỷ lệ với tần số của nó, một trong những dấu hiệu đầu tiên của lưỡng tính sóng-hạt. Kể từ khi năng lượng và Quán tính có liên quan theo cách tương tự như tần số và số sóng trong thuyết tương đối hẹp, nó kéo theo đà của một photon tỷ lệ nghịch với bước sóng λ { displaystyle lambda}hoặc tỷ lệ với số sóng của nó :

p = h λ = ℏ k , { displaystyle p = { frac {h} { lambda}} = hbar k,}

Ở đâu Là Hằng số của Planck và

ℏ = h / 2 π { displaystyle hbar = {h} / {2 pi}}

L = n h 2 π = n ℏ . { displaystyle L = n {h over 2 pi} = n hbar.}

Theo de Broglie, electron được mô tả bằng một sóng và toàn bộ số bước sóng phải nằm dọc theo chu vi quỹ đạo của electron:

n λ = 2 π r . { displaystyle n lambda = 2 pi r. ,}

Cách tiếp cận này về cơ bản giới hạn sóng điện tử trong một chiều, dọc theo quỹ đạo tròn bán kính .

Năm 1921, trước de Broglie, Arthur C. Lunn tại Đại học Chicago đã sử dụng cùng một lập luận dựa trên sự hoàn thành của năng lượng tương đối tính-động lượng 4 vector để suy ra cái mà bây giờ chúng ta gọi là quan hệ de Broglie.[16][17] Không giống như de Broglie, Lunn tiếp tục xây dựng phương trình vi phân ngày nay được gọi là phương trình Schrödinger, và giải các giá trị đặc trưng năng lượng của nó cho nguyên tử hydro. Thật không may, bài báo đã bị từ chối bởi Đánh giá thể chất, như Kamen kể lại.[18]

Theo dõi các ý tưởng của de Broglie, nhà vật lý Peter Debye đã đưa ra một nhận xét đơn giản rằng nếu các hạt hoạt động như sóng, chúng sẽ thỏa mãn một số loại phương trình sóng. Lấy cảm hứng từ nhận xét của Debye, Schrödinger quyết định tìm ra một phương trình sóng 3 chiều thích hợp cho electron. Anh ấy đã được hướng dẫn bởi William R. Hamiltonsự tương tự giữa cơ khí và quang học, được mã hóa theo quan sát rằng giới hạn bước sóng 0 của quang học giống như một hệ thống cơ học — quỹ đạo của các tia sáng trở thành những đường ray sắc bén tuân theo Nguyên lý Fermat, một tương tự của nguyên tắc hành động ít nhất.[19] Một phiên bản hiện đại của lý luận của ông được tái hiện dưới đây. Phương trình anh ta tìm ra là:[20]

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ r , t ] = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ [ r , t ] + V [ r ] Ψ [ r , t ] . { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi [ mathbf {r}, , t] = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} Psi [ mathbf {r}, , t] + V [ mathbf {r}] Psi [ mathbf {r}, , t].}

Tuy nhiên, vào thời điểm đó, Arnold Sommerfeld đã có tinh chỉnh mô hình Bohr với hiệu chỉnh tương đối.[21][22] Schrödinger đã sử dụng quan hệ động lượng tương đối tính để tìm ra cái mà ngày nay được gọi là Phương trình Klein – Gordon trong một Coulomb tiềm năng [trong đơn vị tự nhiên]:

[ E + e 2 r ] 2 ψ [ x ] = − ∇ 2 ψ [ x ] + m 2 ψ [ x ] . { displaystyle left [E + {e ^ {2} over r} right] ^ {2} psi [x] = - nabla ^ {2} psi [x] + m ^ {2} psi [x].}

Ông đã tìm ra sóng dừng của phương trình tương đối tính này, nhưng các hiệu chỉnh tương đối không đồng ý với công thức của Sommerfeld. Chán nản, ông gác lại những tính toán và sống ẩn dật với tình nhân trong một căn nhà gỗ trên núi vào tháng 12 năm 1925.[23]

Khi ở trong cabin, Schrödinger quyết định rằng các phép tính phi tương quan trước đó của ông đã đủ mới để xuất bản, và quyết định bỏ qua vấn đề hiệu chỉnh tương đối cho tương lai. Bất chấp những khó khăn trong việc giải phương trình vi phân cho hydro [anh ấy đã tìm kiếm sự giúp đỡ từ người bạn của mình là nhà toán học Hermann Weyl[24]:3Schrödinger đã chỉ ra rằng phiên bản phương trình sóng không tương quan của ông đã tạo ra năng lượng phổ chính xác của hydro trong một bài báo xuất bản năm 1926.[24]:1[25] Trong phương trình, Schrödinger đã tính toán dãy quang phổ hydro bằng cách đối xử với một nguyên tử hydro'S điện tử như một làn sóng

Ψ [ x , t ] { displaystyle Psi [ mathbf {x}, t]}

Hàm psi ... đã được đề cập .... giờ là phương tiện để dự đoán xác suất của kết quả đo. Trong đó, nó được thể hiện trong khoảnh khắc đạt được tổng kỳ vọng tương lai dựa trên lý thuyết, phần nào được trình bày trong một danh mục.

Bài báo năm 1926 này đã được xác nhận nhiệt tình bởi Einstein, người coi sóng vật chất là một mô tả trực quan về tự nhiên, trái ngược với Heisenberg cơ học ma trận, mà anh ấy coi là quá trang trọng.[27]

Phương trình Schrödinger trình bày chi tiết hành vi của Ψ { displaystyle Psi} nhưng không nói gì về nó Thiên nhiên. Schrödinger đã cố gắng giải thích nó như một mật độ điện tích trong bài báo thứ tư của mình, nhưng ông đã không thành công.[28]:219 Năm 1926, chỉ vài ngày sau khi bài báo thứ tư và cuối cùng của Schrödinger được xuất bản, Max Born diễn giải thành công Ψ { displaystyle Psi} như là biên độ xác suất, mà mô đun bình phương của nó bằng mật độ xác suất.[28]:220 Schrödinger, tuy nhiên, luôn phản đối cách tiếp cận thống kê hoặc xác suất, với sự gián đoạn—Như Einstein, người tin rằng cơ học lượng tử là một phép gần đúng thống kê với một lý thuyết xác định—Và không bao giờ hòa giải với Diễn giải Copenhagen.[29]

Louis de Broglie trong những năm cuối đời của mình đã đề xuất một hàm sóng được kết nối với hàm sóng phức tạp bằng một hằng số tỷ lệ và phát triển Lý thuyết De Broglie – Bohm.

Phương trình sóng của hạt

Phương trình Schrödinger là một biến thể trên phương trình khuếch tán trong đó hằng số khuếch tán là ảo. Một lượng nhiệt tăng đột biến sẽ phân rã theo biên độ và lan tỏa ra ngoài; tuy nhiên, bởi vì i ảo là bộ tạo ra các chuyển động quay trong mặt phẳng phức, nên sự tăng đột biến trong biên độ của sóng vật chất cũng sẽ quay trong mặt phẳng phức theo thời gian. Do đó, các giải pháp là các hàm mô tả các chuyển động giống như sóng. Các phương trình sóng trong vật lý thường có thể được suy ra từ các định luật vật lý khác - phương trình sóng cho rung động cơ học trên chuỗi và trong vật chất có thể được bắt nguồn từ Định luật Newton, trong đó hàm sóng đại diện cho sự dời chỗ của vật chất, và sóng điện từ từ Phương trình Maxwell, chức năng sóng ở đâu điện và từ tính lĩnh vực. Mặt khác, cơ sở cho phương trình Schrödinger là năng lượng của hệ thống và một định đề cơ học lượng tử: hàm sóng là một mô tả của hệ thống.[30] Do đó, phương trình Schrödinger tự nó là một khái niệm mới; như Feynman đã nói:

Chúng ta lấy [phương trình] đó từ đâu? Hư không. Không thể lấy nó từ bất cứ điều gì bạn biết. Nó xuất phát từ tâm trí của Schrödinger.

Nền tảng của phương trình có cấu trúc là một phương trình vi phân tuyến tính dựa trên bảo toàn năng lượng cổ điển và phù hợp với quan hệ De Broglie. Giải pháp là hàm sóng ψ, chứa tất cả thông tin có thể biết về hệ thống. bên trong Diễn giải Copenhagen, mô-đun của ψ có liên quan đến xác suất các hạt ở một số cấu hình không gian tại một thời điểm nào đó. Giải phương trình cho ψ có thể được sử dụng để dự đoán các hạt sẽ hoạt động như thế nào dưới ảnh hưởng của điện thế xác định và với nhau.

Phương trình Schrödinger chủ yếu được phát triển từ Giả thuyết De Broglie, một phương trình sóng sẽ mô tả các hạt,[32] và có thể được xây dựng như thể hiện một cách không chính thức trong các phần sau.[33] Để có mô tả chặt chẽ hơn về phương trình của Schrödinger, hãy xem thêm Resnick et al.[34]

Nhất quán với tiết kiệm năng lượng

Tổng năng lượng E của một hạt là tổng của động năng và năng lượng tiềm năng V { displaystyle V}, tổng này cũng là biểu thức thường xuyên cho Người Hamilton trong cơ học cổ điển:

E = T + V = H { displaystyle E = T + V = H , !}

Rõ ràng, đối với một hạt trong một chiều có vị trí , khối lượng m { displaystyle m} và Quán tính p { displaystyle p}và năng lượng tiềm năng V { displaystyle V} mà nói chung thay đổi theo vị trí và thời gian t { displaystyle t}:

E = p 2 2 m + V [ x , t ] = H . { displaystyle E = { frac {p ^ {2}} {2m}} + V [x, t] = H.}

Đối với ba chiều, vectơ vị trí r và vectơ động lượng p phải được sử dụng:

E = p ⋅ p 2 m + V [ r , t ] = H { displaystyle E = { frac { mathbf {p} cdot mathbf {p}} {2m}} + V [ mathbf {r}, t] = H}

Chủ nghĩa hình thức này có thể được mở rộng cho bất kỳ số hạt cố định nào: tổng năng lượng của hệ sau đó là tổng động năng của các hạt, cộng với tổng thế năng, lại là Hamilton. Tuy nhiên, có thể có tương tác giữa các hạt [an N-có vấn đề về người], nên thế năng V có thể thay đổi khi cấu hình không gian của các hạt thay đổi, và có thể theo thời gian. Năng lượng tiềm năng, nói chung, là không phải tổng các thế năng riêng biệt cho mỗi hạt, nó là một hàm của tất cả các vị trí không gian của các hạt. Rõ ràng:

E = ∑ n = 1 N p n ⋅ p n 2 m n + V [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] = H { displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ {N} { frac { mathbf {p} _ {n} cdot mathbf {p} _ {n}} {2m_ {n}}} + V [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t] = H , !}

Hàm sóng đơn giản nhất là làn sóng máy bay có dạng:

Ψ [ r , t ] = A e Tôi [ k ⋅ r − ω t ] { displaystyle Psi [ mathbf {r}, t] = Ae ^ {i [ mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t]}}

ở đâu A là biên độ, k vectơ sóng và tần số góc của sóng phẳng. Nói chung, các tình huống vật lý không hoàn toàn được mô tả bằng sóng phẳng, vì vậy về tổng thể, Nguyên lý chồng chất bắt buộc; bất kỳ sóng nào cũng có thể được tạo ra bằng cách chồng các sóng phẳng hình sin. Vì vậy, nếu phương trình là tuyến tính, a kết hợp tuyến tính của sóng máy bay cũng là một giải pháp được phép. Do đó, một yêu cầu cần thiết và riêng biệt là phương trình Schrödinger là một phương trình vi phân tuyến tính.

Để rời rạc k { displaystyle mathbf {k}} tổng là một chồng chất của sóng máy bay:

Ψ [ r , t ] = ∑ n = 1 ∞ A n e Tôi [ k n ⋅ r − ω n t ] { displaystyle Psi [ mathbf {r}, t] = sum _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} e ^ {i [ mathbf {k} _ {n} cdot mathbf {r} - omega _ {n} t]} , !}

đối với một số hệ số biên độ thực

A n { displaystyle A_ {n}}

Ψ [ r , t ] = 1 [ 2 π ] 3 ∫ Φ [ k ] e Tôi [ k ⋅ r − ω t ] d 3 k { displaystyle Psi [ mathbf {r}, t] = { frac {1} { left [{ sqrt {2 pi}} , right] ^ {3}}} int Phi [ mathbf {k}] e ^ {i [ mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t]} d ^ {3} mathbf {k} , !}

Ở đâu

d 3 k = d k x d k y d k z { displaystyle d ^ {3} mathbf {k} = dk_ {x} , dk_ {y} , dk_ {z}}

Φ [ k ] { displaystyle Phi [ mathbf {k}]}

Nhất quán với các quan hệ de Broglie

Tóm tắt dạng sơ đồ của các đại lượng liên quan đến hàm sóng, như được sử dụng trong giả thuyết của De broglie và sự phát triển của phương trình Schrödinger.[32]

Giả thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein [1905] nói rằng năng lượng E của một lượng tử ánh sáng hoặc photon tỷ lệ với tần số ν { displaystyle nu} [hoặc là tần số góc,

ω = 2 π ν { displaystyle omega = 2 pi nu}

E = h ν = ℏ ω { displaystyle E = h nu = hbar omega , !}

Tương tự Giả thuyết của De Broglie [1924] tuyên bố rằng bất kỳ hạt nào cũng có thể liên kết với sóng, và động lượng p { displaystyle p} của hạt tỷ lệ nghịch với bước sóng λ { displaystyle lambda} của một làn sóng như vậy [hoặc tỷ lệ với wavenumber,

k = 2 π λ { displaystyle k = { frac {2 pi} { lambda}}}

p = h λ = ℏ k , { displaystyle p = { frac {h} { lambda}} = hbar k ;,}

trong khi ở ba chiều, bước sóng λ có liên quan đến độ lớn của máy đánh sóng k:

p = ℏ k , | k | = 2 π λ . { displaystyle mathbf {p} = hbar mathbf {k} ,, quad | mathbf {k} | = { frac {2 pi} { lambda}} ,}

Mối quan hệ Planck-Einstein và de Broglie chiếu sáng các mối liên hệ sâu sắc giữa năng lượng với thời gian và không gian với động lượng, và thể hiện lưỡng tính sóng-hạt. Trong thực tế, đơn vị tự nhiên bao gồm

ℏ = 1 { displaystyle hbar = 1}

Cái nhìn sâu sắc của Schrödinger,[cần trích dẫn] cuối năm 1925, là để thể hiện giai đoạn của một làn sóng máy bay như một phức tạp yếu tố pha sử dụng các quan hệ sau:

Ψ = A e Tôi [ k ⋅ r − ω t ] = A e Tôi [ p ⋅ r − E t ] / ℏ { displaystyle Psi = Ae ^ {i [ mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t]} = Ae ^ {i [ mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et] / hbar}}

và để nhận ra rằng đơn đặt hàng đầu tiên dẫn một phần đối với không gian là

∇ Ψ = Tôi ℏ p A e Tôi [ p ⋅ r − E t ] / ℏ = Tôi ℏ p Ψ . { displaystyle nabla Psi = { dfrac {i} { hbar}} mathbf {p} Ae ^ {i [ mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et] / hbar} = { dfrac {i} { hbar}} mathbf {p} Psi.}

Lấy đạo hàm riêng đối với thời gian cho

∂ Ψ ∂ t = − Tôi E ℏ A e Tôi [ p ⋅ r − E t ] / ℏ = − Tôi E ℏ Ψ . { displaystyle { dfrac { part Psi} { part t}} = - { dfrac {iE} { hbar}} Ae ^ {i [ mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et ] / hbar} = - { dfrac {iE} { hbar}} Psi.}

Một định đề khác của cơ học lượng tử là tất cả các vật thể quan sát được đại diện bởi tuyến tính Toán tử Hermitian hoạt động trên hàm sóng và các giá trị riêng của toán tử là các giá trị có thể quan sát được. Các dẫn xuất trước đó phù hợp với nhà điều hành năng lượng [hoặc toán tử Hamilton], tương ứng với đạo hàm thời gian,

E ^ Ψ = Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ = E Ψ { displaystyle { hat {E}} Psi = i hbar { dfrac { part} { part t}} Psi = E Psi}

Ở đâu E là năng lượng giá trị riêng, và toán tử động lượng, tương ứng với các dẫn xuất không gian [ dốc ∇ { displaystyle nabla}],

p ^ Ψ = − Tôi ℏ ∇ Ψ = p Ψ { displaystyle { hat { mathbf {p}}} Psi = -i hbar nabla Psi = mathbf {p} Psi}

Ở đâu p là một vectơ của các giá trị riêng động lượng. Ở trên, dấu "mũ" [ ˆ ] chỉ ra những vật thể quan sát này là toán tử, không chỉ đơn giản là số hoặc vectơ thông thường. Các toán tử năng lượng và động lượng là toán tử vi phân, trong khi nhà khai thác năng lượng tiềm năng V { displaystyle V} chỉ là một thừa số nhân.

Thay toán tử năng lượng và động lượng vào phương trình bảo toàn năng lượng cổ điển sẽ thu được toán tử:

E = p ⋅ p 2 m + V → E ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m + V { displaystyle E = { dfrac { mathbf {p} cdot mathbf {p}} {2m}} + V quad rightarrow quad { hat {E}} = { dfrac {{ hat { mathbf {p}}} cdot { hat { mathbf {p}}}} {2m}} + V}

vì vậy về mặt đạo hàm đối với thời gian và không gian, hoạt động của toán tử này trên hàm sóng Ψ ngay lập tức dẫn Schrödinger đến phương trình của mình:[cần trích dẫn]

Tôi ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + V Ψ { displaystyle i hbar { dfrac { part Psi} { part t}} = - { dfrac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} Psi + V Psi }

Đối ngẫu sóng-hạt có thể được đánh giá từ các phương trình này như sau. Động năng T có liên quan đến bình phương động lượng p. Khi động lượng của hạt tăng lên, động năng tăng nhanh hơn, nhưng vì số sóng |k| tăng bước sóng λ giảm dần. Về đại lượng vectơ và vô hướng thông thường [không phải toán tử]:

p ⋅ p ∝ k ⋅ k ∝ T ∝ 1 λ 2 { displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {p} propto mathbf {k} cdot mathbf {k} propto T propto { dfrac {1} { lambda ^ {2}}}}

Động năng cũng tỉ lệ thuận với đạo hàm trong không gian thứ hai nên nó cũng tỉ lệ thuận với độ lớn của độ cong của wave, xét về các toán tử:

T ^ Ψ = − ℏ 2 2 m ∇ ⋅ ∇ Ψ ∝ ∇ 2 Ψ . { displaystyle { hat {T}} Psi = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla cdot nabla Psi , propto , nabla ^ {2} Psi ,}

Khi độ cong tăng lên, biên độ của sóng xen kẽ giữa dương và âm nhanh hơn, và cũng làm cho bước sóng ngắn lại. Vì vậy, mối quan hệ nghịch đảo giữa động lượng và bước sóng phù hợp với năng lượng mà hạt có, và do đó năng lượng của hạt có mối liên hệ với sóng, tất cả đều có trong cùng một công thức toán học.[32]

Chuyển động của sóng và hạt

Mức độ ngày càng tăng của wavepacket bản địa hoá, nghĩa là hạt có vị trí bản địa hoá hơn.

Trong giới hạn ħ → 0, vị trí và động lượng của hạt được biết chính xác. Điều này tương đương với hạt cổ điển.

Schrödinger yêu cầu rằng một gói sóng giải pháp gần vị trí r { displaystyle mathbf {r}} với vectơ sóng gần k { displaystyle mathbf {k}} sẽ di chuyển dọc theo quỹ đạo được xác định bởi cơ học cổ điển trong khoảng thời gian đủ ngắn để lan truyền trong k { displaystyle mathbf {k}} [và do đó về vận tốc] không làm tăng đáng kể sự lây lan trong r. Kể từ, đối với một mức chênh lệch nhất định trong k, tốc độ lan truyền tỷ lệ với hằng số Planck , đôi khi người ta nói rằng trong giới hạn như ℏ { displaystyle hbar} tiệm cận 0, các phương trình của cơ học cổ điển được khôi phục từ cơ học lượng tử.[36] Cần phải hết sức thận trọng trong cách thực hiện giới hạn đó và trong những trường hợp nào.

Bước sóng ngắn giới hạn tương đương với ℏ { displaystyle hbar} có xu hướng bằng không vì đây là trường hợp hạn chế của việc tăng bản địa hóa gói sóng đến vị trí xác định của hạt [xem hình bên phải]. Sử dụng Nguyên lý bất định Heisenberg đối với vị trí và động lượng, các sản phẩm của sự không chắc chắn về vị trí và động lượng trở thành 0 khi

ℏ ⟶ 0 { displaystyle hbar longrightarrow 0}

σ [ x ] σ [ p x ] ⩾ ℏ 2 → σ [ x ] σ [ p x ] ⩾ 0 { displaystyle sigma [x] sigma [p_ {x}] geqslant { frac { hbar} {2}} quad rightarrow quad sigma [x] sigma [p_ {x}] geqslant 0 , !}

Ở đâu σ biểu thị [căn bậc hai trung bình] độ không đảm bảo đo trong x và px [và tương tự cho y và z hướng] ngụ ý vị trí và động lượng chỉ có thể được biết với độ chính xác tùy ý trong giới hạn này.

Một cách đơn giản để so sánh cổ điển với cơ học lượng tử là xem xét sự tiến hóa theo thời gian của hy vọng vị trí và hy vọng Động lượng, sau đó có thể được so sánh với sự tiến hóa theo thời gian của vị trí thông thường và động lượng trong cơ học cổ điển. Các giá trị kỳ vọng lượng tử thỏa mãn Định lý Ehrenfest. Đối với một hạt lượng tử một chiều chuyển động trong thế năng V { displaystyle V}, định lý Ehrenfest nói[37]

m d d t ⟨ x ⟩ = ⟨ p ⟩ ; d d t ⟨ p ⟩ = − ⟨ V ′ [ X ] ⟩ . { displaystyle m { frac {d} {dt}} langle x rangle = langle p rangle; quad { frac {d} {dt}} langle p rangle = - left langle V '[X] ight angle .}

Although the first of these equations is consistent with the classical behavior, the second is not: If the pair

[ ⟨ X ⟩ , ⟨ P ⟩ ] {displaystyle [langle X angle ,langle P angle ]}

− V ′ [ ⟨ X ⟩ ] {displaystyle -V'left[leftlangle X ight angle ight]}

which is typically not the same as

− ⟨ V ′ [ X ] ⟩ {displaystyle -leftlangle V'[X] ight angle }

For general systems, the best we can hope for is that the expected position and momentum will xấp xỉ follow the classical trajectories. If the wave function is highly concentrated around a point

x 0 { displaystyle x_ {0}}

V ′ [ ⟨ X ⟩ ] {displaystyle V'left[leftlangle X ight angle ight]}

⟨ V ′ [ X ] ⟩ {displaystyle leftlangle V'[X] ight angle }

V ′ [ x 0 ] {displaystyle V'[x_{0}]}

The Schrödinger equation in its general form

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ r , t ] = H ^ Ψ [ r , t ] {displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi left[mathbf {r} ,t ight]={hat {H}}Psi left[mathbf {r} ,t ight],!}

có liên quan chặt chẽ đến Phương trình Hamilton – Jacobi [HJE]

− ∂ ∂ t S [ q Tôi , t ] = H [ q Tôi , ∂ S ∂ q Tôi , t ] {displaystyle -{frac {partial }{partial t}}S[q_{i},t]=Hleft[q_{i},{frac {partial S}{partial q_{i}}},t ight],!}

Ở đâu is the classical hoạt động và H { displaystyle H} là Hamiltonian function [not operator]. Đây tọa độ tổng quát

q Tôi { displaystyle q_ {i}}

Tôi = 1 , 2 , 3 {displaystyle i=1,2,3}

r = [ q 1 , q 2 , q 3 ] = [ x , y , z ] {displaystyle mathbf {r} =[q_{1},q_{2},q_{3}]=[x,y,z]}

Thay thế

Ψ = ρ [ r , t ] e Tôi S [ r , t ] / ℏ {displaystyle Psi ={sqrt { ho [mathbf {r} ,t]}}e^{iS[mathbf {r} ,t]/hbar },!}

Ở đâu ρ { displaystyle rho} is the probability density, into the Schrödinger equation and then taking the limit ℏ ⟶ 0 {displaystyle hbar longrightarrow 0} in the resulting equation yield the Hamilton–Jacobi equation.

The implications are as follows:

• The motion of a particle, described by a [short-wavelength] wave packet solution to the Schrödinger equation, is also described by the Hamilton–Jacobi equation of motion.
• The Schrödinger equation includes the wave function, so its wave packet solution implies the position of a [quantum] particle is fuzzily spread out in wave fronts. On the contrary, the Hamilton–Jacobi equation applies to a [classical] particle of definite position and momentum, instead the position and momentum at all times [the trajectory] are deterministic and can be simultaneously known.

Nonrelativistic quantum mechanics

The quantum mechanics of particles without accounting for the effects of thuyết tương đối hẹp, for example particles propagating at speeds much less than ánh sáng, được gọi là nonrelativistic quantum mechanics. Following are several forms of Schrödinger's equation in this context for different situations: time independence and dependence, one and three spatial dimensions, and one and N vật rất nhỏ.

In actuality, the particles constituting the system do not have the numerical labels used in theory. The language of mathematics forces us to label the positions of particles one way or another, otherwise there would be confusion between symbols representing which variables are for which particle.[34]

Time-independent

If the Hamiltonian is not an explicit function of time, the equation is tách ra into a product of spatial and temporal parts. In general, the wave function takes the form:

Ψ [ space coords , t ] = ψ [ space coords ] τ [ t ] . {displaystyle Psi [{ ext{space coords}},t]=psi [{ ext{space coords}}] au [t],.}

Ở đâu ψ[space coords] is a function of all the spatial coordinate[s] of the particle[s] constituting the system only, and τ[t] is a function of time only.

Substituting for ψ into the Schrödinger equation for the relevant number of particles in the relevant number of dimensions, solving by tách các biến implies the general solution of the time-dependent equation has the form:[20]

Ψ [ space coords , t ] = ψ [ space coords ] e − Tôi E t / ℏ . {displaystyle Psi [{ ext{space coords}},t]=psi [{ ext{space coords}}]e^{-i{Et/hbar }},.}

Since the time dependent phase factor is always the same, only the spatial part needs to be solved for in time independent problems. Additionally, the energy operator Ê = tôi∂/∂t can always be replaced by the energy eigenvalue E, thus the time independent Schrödinger equation is an giá trị riêng equation for the Hamiltonian operator:[5]:143ff

H ^ ψ = E ψ {displaystyle {hat {H}}psi =Epsi }

This is true for any number of particles in any number of dimensions [in a time independent potential]. This case describes the sóng đứng solutions of the time-dependent equation, which are the states with definite energy [instead of a probability distribution of different energies]. In physics, these standing waves are called "stationary states" hoặc là "energy eigenstates"; in chemistry they are called "quỹ đạo nguyên tử" hoặc là "quỹ đạo phân tử". Superpositions of energy eigenstates change their properties according to the relative phases between the energy levels.

The energy eigenvalues from this equation form a discrete quang phổ of values, so mathematically energy must be quantized. More specifically, the energy eigenstates form a basis – any wave function may be written as a sum over the discrete energy states or an integral over continuous energy states, or more generally as an integral over a measure. Đây là định lý quang phổ in mathematics, and in a finite state space it is just a statement of the completeness of the eigenvectors of a Ma trận Hermitian.

One-dimensional examples

For a particle in one dimension, the Hamiltonian is:

H ^ = p ^ 2 2 m + V [ x ] , p ^ = − Tôi ℏ d d x {displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+V[x],,quad {hat {p}}=-ihbar {frac {d}{dx}}}

and substituting this into the general Schrödinger equation gives:

[ − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 + V [ x ] ] ψ [ x ] = E ψ [ x ] {displaystyle left[-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V[x] ight]psi [x]=Epsi [x]}

This is the only case the Schrödinger equation is an bình thường differential equation, rather than a một phần differential equation. The general solutions are always of the form:

Ψ [ x , t ] = ψ [ x ] e − Tôi E t / ℏ . {displaystyle Psi [x,t]=psi [x]e^{-iEt/hbar },.}

Đối với N particles in one dimension, the Hamiltonian is:

H ^ = ∑ n = 1 N p ^ n 2 2 m n + V [ x 1 , x 2 , … , x N ] , p ^ n = − Tôi ℏ ∂ ∂ x n {displaystyle {hat {H}}=sum _{n=1}^{N}{frac {{hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V[x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}],,quad {hat {p}}_{n}=-ihbar {frac {partial }{partial x_{n}}}}

where the position of particle n Là xn. The corresponding Schrödinger equation is:

− ℏ 2 2 ∑ n = 1 N 1 m n ∂ 2 ∂ x n 2 ψ [ x 1 , x 2 , … , x N ] + V [ x 1 , x 2 , … , x N ] ψ [ x 1 , x 2 , … , x N ] = E ψ [ x 1 , x 2 , … , x N ] . {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{n=1}^{N}{frac {1}{m_{n}}}{frac {partial ^{2}}{partial x_{n}^{2}}}psi [x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}]+V[x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}]psi [x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}]=Epsi [x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}],.}

so the general solutions have the form:

Ψ [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] = e − Tôi E t / ℏ ψ [ x 1 , x 2 … , x N ] {displaystyle Psi [x_{1},x_{2},ldots ,x_{N},t]=e^{-iEt/hbar }psi [x_{1},x_{2}ldots ,x_{N}]}

For non-interacting distinguishable particles,[39] the potential of the system only influences each particle separately, so the total potential energy is the sum of potential energies for each particle:

V [ x 1 , x 2 , … , x N ] = ∑ n = 1 N V [ x n ] . {displaystyle V[x_{1},x_{2},ldots ,x_{N}]=sum _{n=1}^{N}V[x_{n}],.}

and the wave function can be written as a product of the wave functions for each particle:

Ψ [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] = e − Tôi E t / ℏ ∏ n = 1 N ψ [ x n ] , {displaystyle Psi [x_{1},x_{2},ldots ,x_{N},t]=e^{-i{Et/hbar }}prod _{n=1}^{N}psi [x_{n}],,}

For non-interacting các hạt giống hệt nhau, the potential is still a sum, but wave function is a bit more complicated – it is a sum over the permutations of products of the separate wave functions to account for particle exchange. In general for interacting particles, the above decompositions are không phải khả thi.

Hạt miễn phí

For no potential, V = 0, so the particle is free and the equation reads:[5]:151ff

− E ψ = ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 {displaystyle -Epsi ={frac {hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}psi over dx^{2}},}

which has oscillatory solutions for E > 0 [các Cn are arbitrary constants]:

ψ E [ x ] = C 1 e Tôi 2 m E / ℏ 2 x + C 2 e − Tôi 2 m E / ℏ 2 x {displaystyle psi _{E}[x]=C_{1}e^{i{sqrt {2mE/hbar ^{2}}},x}+C_{2}e^{-i{sqrt {2mE/hbar ^{2}}},x},}

and exponential solutions for E < 0

ψ − | E | [ x ] = C 1 e 2 m | E | / ℏ 2 x + C 2 e − 2 m | E | / ℏ 2 x . {displaystyle psi _{-|E|}[x]=C_{1}e^{{sqrt {2m|E|/hbar ^{2}}},x}+C_{2}e^{-{sqrt {2m|E|/hbar ^{2}}},x}.,}

The exponentially growing solutions have an infinite norm, and are not physical. They are not allowed in a finite volume with periodic or fixed boundary conditions.

Xem thêm hạt miễn phí và wavepacket for more discussion on the free particle.

Constant potential

For a constant potential, V = V0, the solution is oscillatory for E > V0 and exponential for E < V0, corresponding to energies that are allowed or disallowed in classical mechanics. Oscillatory solutions have a classically allowed energy and correspond to actual classical motions, while the exponential solutions have a disallowed energy and describe a small amount of quantum bleeding into the classically disallowed region, due to đường hầm lượng tử. Nếu tiềm năng V0 grows to infinity, the motion is classically confined to a finite region. Viewed far enough away, every solution is reduced to an exponential; the condition that the exponential is decreasing restricts the energy levels to a discrete set, called the allowed energies.[35]

Dao động điều hòa

A dao động điều hòa in classical mechanics [A–B] and quantum mechanics [C–H]. In [A–B], a ball, attached to a mùa xuân, oscillates back and forth. [C–H] are six solutions to the Schrödinger Equation for this situation. The horizontal axis is position, the vertical axis is the real part [blue] or imaginary part [red] of the hàm sóng. Stationary states, or energy eigenstates, which are solutions to the time-independent Schrödinger equation, are shown in C, D, E, F, but not G or H.

The Schrödinger equation for this situation is

E ψ = − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ + 1 2 m ω 2 x 2 ψ , {displaystyle Epsi =-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}psi +{frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}psi ,}

Ở đâu x { displaystyle x} is the displacement and ω { displaystyle omega} the angular frequency. This is an example of a quantum-mechanical system whose wave function can be solved for exactly. Furthermore, it can be used to describe approximately a wide variety of other systems, including vibrating atoms, molecules,[40] and atoms or ions in lattices,[41] and approximating other potentials near equilibrium points. Nó cũng là basis of perturbation methods in quantum mechanics.

The solutions in position space are

ψ n [ x ] = 1 2 n n ! ⋅ [ m ω π ℏ ] 1 / 4 ⋅ e − m ω x 2 2 ℏ ⋅ H n [ m ω ℏ x ] , {displaystyle psi _{n}[x]={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}cdot left[{frac {momega }{pi hbar }} ight]^{1/4}cdot e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}cdot {mathcal {H}}_{n}left[{sqrt {frac {momega }{hbar }}}x ight],}

Ở đâu

n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {displaystyle nin {0,1,2,ldots }}

H n {displaystyle {mathcal {H}}_{n}}

ψ n [ x ] = 1 n ! [ m ω 2 ℏ ] n [ x − ℏ m ω d d x ] n [ m ω π ℏ ] 1 4 e − m ω x 2 2 ℏ . {displaystyle psi _{n}[x]={frac {1}{sqrt {n!}}}left[{sqrt {frac {momega }{2hbar }}} ight]^{n}left[x-{frac {hbar }{momega }}{frac {d}{dx}} ight]^{n}left[{frac {momega }{pi hbar }} ight]^{frac {1}{4}}e^{frac {-momega x^{2}}{2hbar }}.}

The eigenvalues are

E n = [ n + 1 2 ] ℏ ω . {displaystyle E_{n}=left[n+{frac {1}{2}} ight]hbar omega .}

Trường hợp

n = 0 { displaystyle n = 0}

Three-dimensional examples

The extension from one dimension to three dimensions is straightforward, all position and momentum operators are replaced by their three-dimensional expressions and the partial derivative with respect to space is replaced by the dốc nhà điều hành.

The Hamiltonian for one particle in three dimensions is:

H ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m + V [ r ] , p ^ = − Tôi ℏ ∇ {displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {mathbf {p} }}cdot {hat {mathbf {p} }}}{2m}}+V[mathbf {r} ],,quad {hat {mathbf {p} }}=-ihbar {oldsymbol { abla }}}

generating the equation

[ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V [ r ] ] ψ [ r ] = E ψ [ r ] {displaystyle left[-{frac {hbar ^{2}}{2m}} abla ^{2}+V[mathbf {r} ] ight]psi [mathbf {r} ]=Epsi [mathbf {r} ]}

with stationary state solutions of the form

Ψ [ r , t ] = ψ [ r ] e − Tôi E t / ℏ , {displaystyle Psi [mathbf {r} ,t]=psi [mathbf {r} ]e^{-iEt/hbar },}

where the position of the particle is r { displaystyle mathbf {r}}.

Đối với particles in three dimensions, the Hamiltonian is

H ^ = ∑ n = 1 N p ^ n ⋅ p ^ n 2 m n + V [ r 1 , r 2 , … , r N ] , p ^ n = − Tôi ℏ ∇ n {displaystyle {hat {H}}=sum _{n=1}^{N}{frac {{hat {mathbf {p} }}_{n}cdot {hat {mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V[mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}],,quad {hat {mathbf {p} }}_{n}=-ihbar {oldsymbol { abla }}_{n}}

where the position of particle n Là rn and the gradient operators are partial derivatives with respect to the particle's position coordinates. In Cartesian coordinates, for particle n, the position vector is rn = [xn, yn, zn] while the gradient and Toán tử Laplacian are respectively:

∇ n = e x ∂ ∂ x n + e y ∂ ∂ y n + e z ∂ ∂ z n , ∇ n 2 = ∇ n ⋅ ∇ n = ∂ 2 ∂ x n 2 + ∂ 2 ∂ y n 2 + ∂ 2 ∂ z n 2 {displaystyle {oldsymbol { abla }}_{n}=mathbf {e} _{x}{frac {partial }{partial x_{n}}}+mathbf {e} _{y}{frac {partial }{partial y_{n}}}+mathbf {e} _{z}{frac {partial }{partial z_{n}}},,quad abla _{n}^{2}={oldsymbol { abla }}_{n}cdot {oldsymbol { abla }}_{n}={frac {partial ^{2}}{{partial x_{n}}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{{partial y_{n}}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{{partial z_{n}}^{2}}}}

The Schrödinger equation is:

− ℏ 2 2 ∑ n = 1 N 1 m n ∇ n 2 Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N ] + V [ r 1 , r 2 , … , r N ] Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N ] = E Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N ] {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{n=1}^{N}{frac {1}{m_{n}}} abla _{n}^{2}Psi [mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}]+V[mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}]Psi [mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}]=EPsi [mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}]}

with stationary state solutions:

Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] = e − Tôi E t / ℏ   ψ [ r 1 , r 2 , … , r N ] {displaystyle Psi [mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N},t]=e^{-iEt/hbar } psi [mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}]}

Again, for non-interacting distinguishable particles the potential is the sum of particle potentials

V [ r 1 , r 2 , … , r N ] = ∑ n = 1 N V [ r n ] {displaystyle V[mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N}]=sum _{n=1}^{N}V[mathbf {r} _{n}]}

and the wave function is a product of the particle wave functions

Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] = e − Tôi E t / ℏ ∏ n = 1 N ψ [ r n ] . {displaystyle Psi [mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldots ,mathbf {r} _{N},t]=e^{-i{Et/hbar }}prod _{n=1}^{N}psi [mathbf {r} _{n}],.}

For non-interacting identical particles, the potential is a sum but the wave function is a sum over permutations of products. The previous two equations do not apply to interacting particles.

Following are examples where exact solutions are known. See the main articles for further details.

Nguyên tử hydro

The Schrödinger equation for the nguyên tử hydro [or a hydrogen-like atom] is[30][32]

E ψ = − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ − q 2 4 π ε 0 r ψ { displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2 mu}} nabla ^ {2} psi - { frac {q ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} r}} psi}

Ở đâu là điện tích electron, r { displaystyle mathbf {r}} là vị trí của electron so với hạt nhân,

r = | r | { displaystyle r = | mathbf {r} |}

ε 0 { displaystyle varepsilon _ {0}}

μ = m q m p m q + m p { displaystyle mu = { frac {m_ {q} m_ {p}} {m_ {q} + m_ {p}}}}

là 2 thể giảm khối lượng của hydro nhân tế bào [chỉ là một proton] khối lượng

m p { displaystyle m_ {p}}

m q { displaystyle m_ {q}}

Phương trình Schrödinger cho một nguyên tử hydro có thể được giải bằng cách tách các biến.[43] Trong trường hợp này, tọa độ cực hình cầu là thuận tiện nhất. Vì vậy,

ψ [ r , θ , φ ] = R [ r ] Y ℓ m [ θ , φ ] = R [ r ] Θ [ θ ] Φ [ φ ] , { displaystyle psi [r, theta, varphi] = R [r] Y _ { ell} ^ {m} [ theta, varphi] = R [r] Theta [ theta] Phi [ varphi],}

Ở đâu R là các hàm xuyên tâm và

Y l m [ θ , φ ] { displaystyle Y_ {l} ^ {m} [ theta, varphi]}

ψ n ℓ m [ r , θ , φ ] = [ 2 n a 0 ] 3 [ n − ℓ − 1 ] ! 2 n [ [ n + ℓ ] ! ] e − r / n a 0 [ 2 r n a 0 ] ℓ L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 [ 2 r n a 0 ] ⋅ Y ℓ m [ θ , φ ] { displaystyle psi _ {n ell m} [r, theta, varphi] = { sqrt { left [{ frac {2} {na_ {0}}} right] ^ {3} { frac {[n- ell -1]!} {2n [[n + ell]!]}}}} e ^ {- r / na_ {0}} left [{ frac {2r} {na_ { 0}}} right] ^ { ell} L_ {n- ell -1} ^ {2 ell +1} left [{ frac {2r} {na_ {0}}} right] cdot Y _ { ell} ^ {m} [ theta, varphi]}

Ở đâu:

• a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m q q 2 { displaystyle a_ {0} = { frac {4 pi varepsilon _ {0} hbar ^ {2}} {m_ {q} q ^ {2}}}}

  là Bán kính Bohr,

• L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 [ ⋯ ] { displaystyle L_ {n- ell -1} ^ {2 ell +1} [ cdots]}

  là đa thức Laguerre tổng quát mức độ

  n − ℓ − 1 { displaystyle n- ell -1}

  .

• n , ℓ , m { displaystyle n, ell, m}

  là hiệu trưởng, azimuthalvà từ tính Số lượng tử tương ứng, nhận các giá trị:

n = 1 , 2 , 3 , … ℓ = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 m = − ℓ , … , ℓ { displaystyle { begin {align} n & = 1,2,3, dot ell & = 0,1,2, dot, n-1 m & = - ell, dot, ell end {căn chỉnh}}}

Các đa thức Laguerre tổng quát được định nghĩa khác nhau bởi các tác giả khác nhau. Xem bài viết chính về chúng và nguyên tử hydro.

Nguyên tử hoặc ion hai điện tử

Phương trình cho bất kỳ hệ hai electron nào, chẳng hạn như hệ trung hòa nguyên tử heli [Anh ta,

Z = 2 { displaystyle Z = 2}

Z = 1 { displaystyle Z = 1}

Z = 3 { displaystyle Z = 3}

E ψ = − ℏ 2 [ 1 2 μ [ ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ] + 1 M ∇ 1 ⋅ ∇ 2 ] ψ + e 2 4 π ε 0 [ 1 r 12 − Z [ 1 r 1 + 1 r 2 ] ] ψ { displaystyle E psi = - hbar ^ {2} left [{ frac {1} {2 mu}} left [ nabla _ {1} ^ {2} + nabla _ {2} ^ {2} right] + { frac {1} {M}} nabla _ {1} cdot nabla _ {2} right] psi + { frac {e ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0}}} left [{ frac {1} {r_ {12}}} - Z left [{ frac {1} {r_ {1}}} + { frac {1} {r_ {2}}} right] right] psi}

Ở đâu r1 là vị trí tương đối của một electron [r1 = |r1| là độ lớn tương đối của nó], r2 là vị trí tương đối của electron kia [r2 = |r2| là độ lớn], r12 = |r12| là độ lớn của khoảng cách giữa chúng được cho bởi

| r 12 | = | r 2 − r 1 | { displaystyle | mathbf {r} _ {12} | = | mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {1} | , !}

μ lại là khối lượng giảm hai vật thể của một electron so với hạt nhân khối lượng M, vì vậy lần này

μ = m e M m e + M { displaystyle mu = { frac {m_ {e} M} {m_ {e} + M}} , !}

và Z là số nguyên tử cho phần tử [không phải số lượng tử].

Kỳ hạn chéo của hai người Laplacia

1 M ∇ 1 ⋅ ∇ 2 { displaystyle { frac {1} {M}} { boldsymbol { nabla}} _ {1} cdot { boldsymbol { nabla}} _ {2} , !}

được gọi là thuật ngữ phân cực khối lượng, phát sinh do chuyển động của Hạt nhân nguyên tử. Hàm sóng là một hàm của vị trí của hai electron:

ψ = ψ [ r 1 , r 2 ] . { displaystyle psi = psi [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}].}

Không có nghiệm dạng đóng cho phương trình này.

Phụ thuộc vào thời gian

Đây là phương trình chuyển động của trạng thái lượng tử. Ở dạng tổng quát nhất, nó được viết:[5]:143ff

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ = H ^ Ψ . { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi = { hat {H}} Psi.}

và nghiệm, hàm sóng, là một hàm của tất cả các tọa độ hạt của hệ và thời gian. Sau đây là các trường hợp cụ thể.

Đối với một hạt trong một chiều, Hamilton

H ^ = p ^ 2 2 m + V [ x , t ] , p ^ = − Tôi ℏ ∂ ∂ x { displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V [x, t] ,, quad { hat {p}} = -i hbar { frac { part} { một phần x}}}

tạo ra phương trình:

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ x , t ] = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ [ x , t ] + V [ x , t ] Ψ [ x , t ] { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi [x, t] = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { part ^ {2}} { một phần x ^ {2}}} Psi [x, t] + V [x, t] Psi [x, t]}

Đối với N các hạt trong một chiều, Hamilton là:

H ^ = ∑ n = 1 N p ^ n 2 2 m n + V [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] , p ^ n = − Tôi ℏ ∂ ∂ x n { displaystyle { hat {H}} = sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {{ hat {p}} _ {n} ^ {2}} {2m_ {n}}} + V [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}, t] ,, quad { hat {p}} _ {n} = - i hbar { frac { part } { một phần x_ {n}}}}

vị trí của hạt ở đâu n Là xn, tạo ra phương trình:

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] = − ℏ 2 2 ∑ n = 1 N 1 m n ∂ 2 ∂ x n 2 Ψ [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] + V [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] Ψ [ x 1 , x 2 , … , x N , t ] . { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}, t] = - { frac { hbar ^ {2}} {2}} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {m_ {n}}} { frac { part ^ {2}} { một phần x_ { n} ^ {2}}} Psi [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}, t] + V [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N }, t] Psi [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}, t] ,}

Đối với một hạt trong ba chiều, Hamilton là:

H ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m + V [ r , t ] , p ^ = − Tôi ℏ ∇ { displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat { mathbf {p}}} cdot { hat { mathbf {p}}}} {2m}} + V [ mathbf { r}, t] ,, quad { hat { mathbf {p}}} = - i hbar nabla}

tạo ra phương trình:

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ r , t ] = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ [ r , t ] + V [ r , t ] Ψ [ r , t ] { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi [ mathbf {r}, t] = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} Psi [ mathbf {r}, t] + V [ mathbf {r}, t] Psi [ mathbf {r}, t]}

Đối với N các hạt trong không gian ba chiều, Hamilton là:

H ^ = ∑ n = 1 N p ^ n ⋅ p ^ n 2 m n + V [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] , p ^ n = − Tôi ℏ ∇ n { displaystyle { hat {H}} = sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {{ hat { mathbf {p}}} _ {n} cdot { hat { mathbf {p}}} _ {n}} {2m_ {n}}} + V [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ { N}, t] ,, quad { hat { mathbf {p}}} _ {n} = - i hbar nabla _ {n}}

vị trí của hạt ở đâu n Là rn, tạo ra phương trình:[5]:141

Tôi ℏ ∂ ∂ t Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] = − ℏ 2 2 ∑ n = 1 N 1 m n ∇ n 2 Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] + V [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] Ψ [ r 1 , r 2 , … , r N , t ] { displaystyle i hbar { frac { part} { part t}} Psi [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t] = - { frac { hbar ^ {2}} {2}} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {m_ {n}}} nabla _ {n} ^ {2} Psi [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t] + V [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t] Psi [ mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t]}

Phương trình cuối cùng này ở một kích thước rất cao, vì vậy các giải pháp không dễ hình dung.

Phương pháp giải quyết

Tính chất

Phương trình Schrödinger có các tính chất sau: một số hữu ích, nhưng có những thiếu sót. Cuối cùng, những tính chất này phát sinh từ Hamilton được sử dụng, và các nghiệm của phương trình.

Tuyến tính

Trong sự phát triển ở trên, phương trình Schrödinger đã được thực hiện để tuyến tính cho tính tổng quát, mặc dù điều này có ý nghĩa khác. Nếu hai hàm sóng ψ1 và ψ2 là các giải pháp, thì bất kỳ kết hợp tuyến tính trong số hai:

ψ = a ψ 1 + b ψ 2 { displaystyle displaystyle psi = a psi _ {1} + b psi _ {2}}

Ở đâu a và b là bất kỳ số phức nào [tổng có thể được mở rộng cho bất kỳ số hàm sóng nào]. Thuộc tính này cho phép chồng chất của các trạng thái lượng tử là nghiệm của phương trình Schrödinger. Nói một cách tổng quát hơn, người ta cho rằng có thể tìm ra nghiệm tổng quát cho phương trình Schrödinger bằng cách lấy tổng trọng số trên tất cả các nghiệm trạng thái đơn lẻ có thể đạt được. Ví dụ, hãy xem xét một hàm sóng Ψ[x, t] sao cho hàm sóng là sản phẩm của hai hàm: một hàm độc lập và một phụ thuộc thời gian. Nếu các trạng thái của năng lượng xác định được tìm thấy bằng cách sử dụng phương trình Schrödinger độc lập với thời gian được cho bởi ψE[x] với biên độ An và hệ số pha phụ thuộc thời gian được cho bởi

e − Tôi E n t / ℏ , { displaystyle e ^ {{- iE_ {n} t} / hbar},}

thì một giải pháp chung hợp lệ là

Ψ [ x , t ] = ∑ n A n ψ E n [ x ] e − Tôi E n t / ℏ . { displaystyle displaystyle Psi [x, t] = sum limit _ {n} A_ {n} psi _ {E_ {n}} [x] e ^ {{- iE_ {n} t} / hbar}.}

Ngoài ra, khả năng mở rộng các giải pháp cho phép người ta giải một hàm sóng mà không cần chuẩn hóa nó trước. Nếu một người có một tập hợp các giải pháp chuẩn hóa ψn, sau đó

Ψ = ∑ n A n ψ n { displaystyle displaystyle Psi = sum limit _ {n} A_ {n} psi _ {n}}

có thể được chuẩn hóa bằng cách đảm bảo rằng

∑ n | A n | 2 = 1. { displaystyle displaystyle sum limit _ {n} | A_ {n} | ^ {2} = 1.}

Điều này thuận tiện hơn nhiều so với việc phải xác minh

∫ − ∞ ∞ | Ψ [ x ] | 2 d x = ∫ − ∞ ∞ Ψ [ x ] Ψ ∗ [ x ] d x = 1. { displaystyle displaystyle int limit _ {- infty} ^ { infty} | Psi [x] | ^ {2} , dx = int limit _ {- infty} ^ { infty} Psi [x] Psi ^ {*} [x] , dx = 1.}

Phương trình Schrödinger

Tôi ℏ ∂ t | ψ ⟩ = H ^ | ψ ⟩ { displaystyle i hbar part _ {t} | psi rangle = { hat {H}} | psi rangle}

Tôi ℏ ∂ t ψ [ x ] = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ [ x ] + V [ x ] ψ [ x ] { displaystyle i hbar part _ {t} psi [x] = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} psi [x] + V [x] psi [x]}

⟨ x | ψ ⟩ ≡ ψ [ x ] { displaystyle langle x | psi rangle equiv psi [x]}

Tôi ℏ ∂ t f [ p ] = p 2 2 m f [ p ] + [ V ~ ∗ f ] [ p ] { displaystyle displaystyle i hbar part _ {t} f [p] = { frac {p ^ {2}} {2m}} f [p] + [{ dấu ngã {V}} * f] [ p]}

Ở đâu

| p ⟩ { displaystyle | p rangle}

⟨ p | ψ ⟩ ≡ f [ p ] = ∫ ψ [ x ] e − Tôi p x d x { displaystyle langle p | psi rangle equiv f [p] = int psi [x] e ^ {- ipx} dx}

V ~ { displaystyle { tilde {V}}}

Trong ví dụ 1D không có tiềm năng,

V ~ = 0 { displaystyle { tilde {V}} = 0}

V ~ [ k ] ∝ δ [ k ] { displaystyle { tilde {V}} [k] propto delta [k]}

ℏ ω = q 2 / 2 m { displaystyle hbar omega = q ^ {2} / 2m}

f q [ p ] = [ c + δ [ p − q ] + c − δ [ p + q ] ] e − Tôi ω t { displaystyle f_ {q} [p] = [c _ {+} delta [p-q] + c _ {-} delta [p + q]] e ^ {- i omega t}}

cho các hệ số phức tùy ý

c ± { displaystyle c _ { pm}}

∝ | c ± | 2 { displaystyle propto | c _ { pm} | ^ {2}}

Một phiên bản của không gian xung lượng phương trình Schrödinger thường được sử dụng trong vật lý trạng thái rắn, như Định lý Bloch đảm bảo các cặp tiềm năng mạng tinh thể tuần hoàn

f [ p ] { displaystyle f [p]}

f [ p + K ] { displaystyle f [p + K]}

Năng lượng thực eigenstates

Đối với phương trình không phụ thuộc thời gian, một tính năng bổ sung của tuyến tính sau: nếu hai hàm sóng ψ1 và ψ2 là các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào thời gian với cùng một năng lượng E, thì bất kỳ kết hợp tuyến tính nào cũng vậy:

H ^ [ a ψ 1 + b ψ 2 ] = a H ^ ψ 1 + b H ^ ψ 2 = E [ a ψ 1 + b ψ 2 ] . { displaystyle { hat {H}} [a psi _ {1} + b psi _ {2}] = a { hat {H}} psi _ {1} + b { hat {H} } psi _ {2} = E [a psi _ {1} + b psi _ {2}].}

Hai dung dịch khác nhau có cùng năng lượng được gọi là thoái hóa.[35]

Trong một thế năng tùy ý, nếu một hàm sóng ψ giải phương trình không phụ thuộc thời gian, liên hợp phức tạp, biểu thị ψ*. Bằng cách kết hợp tuyến tính, các phần thực và ảo của ψ là từng giải pháp. Nếu không có sự thoái hóa, chúng chỉ có thể khác nhau bởi một yếu tố.

Trong phương trình phụ thuộc thời gian, các sóng liên hợp phức tạp chuyển động ngược chiều nhau. Nếu Ψ[x, t] là một trong những giải pháp, sau đó cũng vậy Ψ*[x, –t]. Đối xứng của liên hợp phức tạp được gọi là đối xứng đảo ngược thời gian.

Đạo hàm không gian và thời gian

Tính liên tục của hàm sóng và đạo hàm không gian đầu tiên của nó [trong x phương hướng, y và z tọa độ không được hiển thị], tại một số thời điểm t.

Phương trình Schrödinger là thứ nhất trong thời gian và thứ hai trong không gian, mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một trạng thái lượng tử [có nghĩa là nó xác định biên độ tương lai so với hiện tại].

Rõ ràng đối với một hạt trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều - phương trình là

Tôi ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m [ ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 ] + V [ x , y , z , t ] Ψ . { displaystyle i hbar { part Psi over part t} = - { hbar ^ {2} over 2m} left [{ part ^ {2} Psi over part x ^ {2 }} + { một phần ^ {2} Psi over một phần y ^ {2}} + { một phần ^ {2} Psi over một phần z ^ {2}} right] + V [x, y, z, t] Psi. , !}

Đạo hàm riêng lần đầu tiên ngụ ý giá trị ban đầu [tại t = 0] của hàm sóng

Ψ [ x , y , z , 0 ] { displaystyle Psi [x, y, z, 0] , !}

là một hằng số tùy ý. Tương tự như vậy - đạo hàm bậc hai đối với không gian ngụ ý hàm sóng và các dẫn xuất không gian bậc nhất của nó

Ψ [ x b , y b , z b , t ] ∂ ∂ x Ψ [ x b , y b , z b , t ] ∂ ∂ y Ψ [ x b , y b , z b , t ] ∂ ∂ z Ψ [ x b , y b , z b , t ] { displaystyle { begin {align} & Psi [x_ {b}, y_ {b}, z_ {b}, t] & { frac { part} { một phần x}} Psi [x_ {b}, y_ {b}, z_ {b}, t] quad { frac { part} { một phần y}} Psi [x_ {b}, y_ {b}, z_ {b}, t ] quad { frac { part} { một phần z}} Psi [x_ {b}, y_ {b}, z_ {b}, t] end {align}} , !}

là tất cả các hằng số tùy ý tại một tập hợp điểm nhất định, trong đó xb, yb, zb là một tập hợp các điểm mô tả ranh giới b [các dẫn xuất được đánh giá tại các ranh giới]. Thông thường có một hoặc hai ranh giới, chẳng hạn như bước tiềm năng và hạt trong hộp tương ứng.

Vì các đạo hàm bậc nhất là tùy ý, hàm sóng có thể là chức năng khác biệt liên tục của không gian, vì tại bất kỳ ranh giới nào, gradient của hàm sóng có thể được khớp.

Ngược lại, các phương trình sóng trong vật lý thường là thứ hai trong thời gian, đáng chú ý là gia đình của cổ điển phương trình sóng và lượng tử Phương trình Klein – Gordon.

Bảo toàn xác suất cục bộ

Phương trình Schrödinger phù hợp với bảo toàn xác suất. Nhân phương trình Schrödinger ở bên phải với hàm sóng liên hợp phức, và nhân hàm sóng ở bên trái của liên hợp phức của phương trình Schrödinger, và trừ đi, ta được phương trình liên tục cho xác suất:[45]

∂ ∂ t ρ [ r , t ] + ∇ ⋅ j = 0 , { displaystyle { một phần over một phần t} rho left [ mathbf {r}, t right] + nabla cdot mathbf {j} = 0,}

Ở đâu

ρ = | Ψ | 2 = Ψ ∗ [ r , t ] Ψ [ r , t ] { displaystyle rho = | Psi | ^ {2} = Psi ^ {*} [ mathbf {r}, t] Psi [ mathbf {r}, t] , !}

là mật độ xác suất [xác suất trên một đơn vị khối lượng, * biểu thị liên hợp phức tạp], và

j = 1 2 m [ Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ] { displaystyle mathbf {j} = {1 over 2m} left [ Psi ^ {*} { hat { mathbf {p}}} Psi - Psi { hat { mathbf {p}} } Psi ^ {*} right] , !}

là xác suất hiện tại [lưu lượng trên một đơn vị diện tích].

Do đó các dự đoán từ phương trình Schrödinger không vi phạm bảo toàn xác suất.

Năng lượng tích cực

Nếu thế năng bị giới hạn từ bên dưới, nghĩa là có giá trị nhỏ nhất của thế năng, các hàm riêng của phương trình Schrödinger có năng lượng cũng bị giới hạn từ bên dưới. Điều này có thể thấy dễ dàng nhất bằng cách sử dụng nguyên tắc biến đổi, như sau. [Xem thêm bên dưới].

Đối với bất kỳ toán tử tuyến tính nào  ràng buộc từ bên dưới, eigenvector có giá trị eigen nhỏ nhất là vectơ ψ điều đó giảm thiểu số lượng

⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ { displaystyle langle psi | { hat {A}} | psi rangle}

trên tất cả ψ đó là bình thường hóa.[45] Theo cách này, giá trị riêng nhỏ nhất được biểu thị thông qua nguyên tắc biến đổi. Đối với Schrödinger Hamiltonian Ĥ giới hạn từ bên dưới, giá trị riêng nhỏ nhất được gọi là năng lượng trạng thái cơ bản. Năng lượng đó là giá trị nhỏ nhất của

⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ = ∫ ψ ∗ [ r ] [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ [ r ] + V [ r ] ψ [ r ] ] d 3 r = ∫ [ ℏ 2 2 m | ∇ ψ | 2 + V [ r ] | ψ | 2 ] d 3 r = ⟨ H ^ ⟩ { displaystyle langle psi | { hat {H}} | psi rangle = int psi ^ {*} [ mathbf {r}] left [- { frac { hbar ^ {2} } {2m}} nabla ^ {2} psi [ mathbf {r}] + V [ mathbf {r}] psi [ mathbf {r}] right] d ^ {3} mathbf {r } = int left [{ frac { hbar ^ {2}} {2m}} | nabla psi | ^ {2} + V [ mathbf {r}] | psi | ^ {2} right] d ^ {3} mathbf {r} = langle { hat {H}} rangle}

[sử dụng tích hợp theo bộ phận]. Bởi vì mô đun phức tạp của ψ2 [là xác định dương], phía bên phải luôn lớn hơn giá trị thấp nhất của V[x]. Đặc biệt, năng lượng ở trạng thái cơ bản là dương khi V[x] là tích cực ở mọi nơi.

Đối với các điện thế bị giới hạn bên dưới và không vô hạn trên một vùng, có một trạng thái cơ bản là cực tiểu tích phân ở trên. Hàm sóng năng lượng thấp nhất này là thực và xác định dương - có nghĩa là hàm sóng có thể tăng và giảm, nhưng dương đối với mọi vị trí. Về mặt vật lý, nó không thể là số âm: nếu đúng như vậy, việc làm mịn các khúc quanh khi dấu hiệu thay đổi [để giảm thiểu hàm sóng] làm giảm nhanh sự đóng góp của gradient vào tích phân và do đó động năng, trong khi thế năng thay đổi tuyến tính và ít nhanh hơn. Động năng và thế năng đều thay đổi với tốc độ khác nhau, vì vậy tổng năng lượng là không đổi, điều này không thể xảy ra [bảo toàn]. Các nghiệm phù hợp với phương trình Schrödinger nếu hàm sóng này là xác định dương.

Việc thiếu các dấu hiệu thay đổi cũng cho thấy rằng trạng thái cơ bản là không sinh ra, vì nếu có hai trạng thái cơ bản có năng lượng chung E, không tỷ lệ với nhau, sẽ có sự kết hợp tuyến tính của cả hai mà cũng sẽ là trạng thái cơ bản dẫn đến nghiệm bằng không.

Tiếp tục phân tích để khuếch tán

Các thuộc tính trên [xác định dương của năng lượng] cho phép tiếp tục phân tích của phương trình Schrödinger được xác định là quá trình ngẫu nhiên. Điều này có thể được hiểu là Nguyên lý Huygens – Fresnel áp dụng cho sóng De Broglie; các mặt sóng lan truyền là biên độ xác suất khuếch tán.[45] Đối với một hạt tự do [không phụ thuộc vào thế năng] trong đi bộ ngẫu nhiên, thay thế τ = nó vào phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian đưa ra:[46]

∂ ∂ τ X [ r , τ ] = ℏ 2 m ∇ 2 X [ r , τ ] , X [ r , τ ] = Ψ [ r , τ / Tôi ] { displaystyle { part over part tau} X [ mathbf {r}, tau] = { frac { hbar} {2m}} nabla ^ {2} X [ mathbf {r}, tau] ,, quad X [ mathbf {r}, tau] = Psi [ mathbf {r}, tau / i]}

có cùng dạng với phương trình khuếch tán, với hệ số khuếch tán ħ/2m.

Đều đặn

Trên không gian

L 2 { displaystyle L ^ {2}}

e Tôi t H ^ { displaystyle e ^ {it { hat {H}}}}

Tôi ∂ t u = H ^ u { displaystyle i part _ {t} u = { hat {H}} u}

Cơ học lượng tử tương đối tính

Cơ học lượng tử tương đối tính thu được khi cơ học lượng tử và thuyết tương đối hẹp đồng thời áp dụng. Nói chung, một người mong muốn xây dựng phương trình sóng tương đối tính từ tương đối tính quan hệ năng lượng - động lượng

E 2 = [ p c ] 2 + [ m 0 c 2 ] 2 , { displaystyle E ^ {2} = [pc] ^ {2} + [m_ {0} c ^ {2}] ^ {2} ,,}

thay vì các phương trình năng lượng cổ điển. Các Phương trình Klein – Gordon và Phương trình Dirac là hai phương trình như vậy. Phương trình Klein – Gordon,

1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ − ∇ 2 ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0. { displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { part ^ {2}} { part t ^ {2}}} psi - nabla ^ {2} psi + { frac {m ^ {2} c ^ {2}} { hbar ^ {2}}} psi = 0.}

là phương trình như vậy đầu tiên thu được, thậm chí trước cả phương trình phi tương quan, và áp dụng cho các hạt khối lượng lớn không quay. Phương trình Dirac hình thành từ việc lấy "căn bậc hai" của phương trình Klein – Gordon bằng cách phân tích nhân tử của toàn bộ toán tử sóng tương đối tính thành tích của hai toán tử - một trong số này là toán tử cho toàn bộ phương trình Dirac. Toàn bộ phương trình Dirac:

[ β m c 2 + c [ ∑ n = ⁡ 1 3 α n p n ] ] ψ = Tôi ℏ ∂ ψ ∂ t { displaystyle left [ beta mc ^ {2} + c left [ sum _ {n mathop {=} 1} ^ {3} alpha _ {n} p_ {n} right] right] psi = i hbar { frac { part psi} { một phần t}}}

Dạng tổng quát của phương trình Schrödinger vẫn đúng trong thuyết tương đối, nhưng Hamilton ít rõ ràng hơn. Ví dụ, Hamilton Dirac cho một hạt có khối lượng m và điện tích q trong một trường điện từ [được mô tả bởi điện thế điện từ φ và A] Là:

H ^ Dirac = γ 0 [ c γ ⋅ [ p ^ − q A ] + m c 2 + γ 0 q φ ] , { displaystyle { hat {H}} _ { text {Dirac}} = gamma ^ {0} left [c { boldsymbol { gamma}} cdot left [{ hat { mathbf {p }}} - q mathbf {A} right] + mc ^ {2} + gamma ^ {0} q varphi right] ,,}

trong đó γ = [γ1, γ2, γ3] và γ0 là người Dirac ma trận gamma liên quan đến spin của hạt. Phương trình Dirac đúng cho tất cả quay-1⁄2 các hạt, và các giải pháp cho phương trình là 4 thành phần lĩnh vực spinor với hai thành phần tương ứng với hạt và hai thành phần còn lại cho phản hạt.

Đối với phương trình Klein – Gordon, dạng tổng quát của phương trình Schrödinger không tiện sử dụng, và trong thực tế, Hamilton không được biểu diễn theo cách tương tự như Hamilton Dirac. Các phương trình cho trường lượng tử tương đối tính có thể thu được theo những cách khác, chẳng hạn như bắt đầu từ Mật độ Lagrangian và sử dụng Phương trình Euler – Lagrange cho các trường hoặc sử dụng lý thuyết đại diện của nhóm Lorentz trong đó các biểu diễn nhất định có thể được sử dụng để sửa phương trình cho một hạt tự do có spin [và khối lượng] nhất định.

Nói chung, Hamilton được thay thế trong phương trình Schrödinger tổng quát không chỉ là một hàm của toán tử vị trí và động lượng [và có thể cả thời gian], mà còn của ma trận spin. Ngoài ra, các lời giải cho một phương trình sóng tương đối tính, cho một hạt spin khổng lồ S, có giá trị phức tạp 2[2S + 1]-component lĩnh vực spinor.

Lý thuyết trường lượng tử

Phương trình tổng quát cũng hợp lệ và được sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử, cả trong các tình huống tương đối tính và không tương quan. Tuy nhiên, giải pháp ψ không còn được hiểu là "wave", mà phải được hiểu là toán tử hành động trên các trạng thái tồn tại trong Fock không gian.[cần trích dẫn]

Đơn đặt hàng đầu tiên

Phương trình Schrödinger cũng có thể được suy ra từ một dạng bậc nhất[47][48][49] tương tự như cách thức mà Phương trình Klein – Gordon có thể được bắt nguồn từ Phương trình Dirac. Trong 1D, phương trình bậc nhất được cho bởi

− Tôi ∂ z ψ = [ Tôi η ∂ t + η † m ] ψ { displaystyle { begin {align} -i part _ {z} psi = [i eta part _ {t} + eta ^ { dagger} m] psi end {align}}}

Phương trình này cho phép đưa spin vào cơ học lượng tử phi tương quan. Bình phương phương trình trên thu được phương trình Schrödinger trong 1D. Các ma trận tuân theo các thuộc tính sau

η 2 = 0 [ η † ] 2 = 0 { η , η † } = 2 Tôi { displaystyle { begin {align} eta ^ {2} = 0 [ eta ^ { dagger}] ^ {2} = 0 left lbrace eta, eta ^ { dagger} right rbrace = 2I end {align}}}

Phiên bản 3 chiều của phương trình được đưa ra bởi

− Tôi γ Tôi ∂ Tôi ψ = [ Tôi η ∂ t + η † m ] ψ { displaystyle { begin {align} -i gamma _ {i} part _ {i} psi = [i eta part _ {t} + eta ^ { dagger} m] psi end {căn chỉnh}}}

Đây

η = [ γ 0 + Tôi γ 5 ] / 2 { displaystyle eta = [ gamma _ {0} + i gamma _ {5}] / { sqrt {2}}}

4 × 4 { displaystyle 4 times 4}

γ Tôi { displaystyle gamma _ {i}}

E − m ≃ E ′ { displaystyle E-m simeq E '}

E + m ≃ 2 m { displaystyle E + m simeq 2m}

Xem thêm

Ghi chú

1. ^ Mặc dù đây là dạng nổi tiếng nhất của định luật thứ hai của Newton, nhưng nó không phải là dạng tổng quát nhất, chỉ có giá trị đối với các vật thể có khối lượng không đổi. Định luật thứ hai của Newton đọc

   F = d d t [ m v ] { displaystyle mathbf {F} = { frac {d} {dt}} [m mathbf {v}]}

   , lực thuần tác dụng lên một vật bằng tổng đạo hàm theo thời gian của tổng động lượng của vật đó — tương đương với dạng đã cho khi khối lượng không đổi theo thời gian.
2. ^ Chiều của hành động là chiều của năng lượng nhân lên theo thời gian chứ không phải năng lượng theo thời gian, là thứ nguyên của quyền lực. Đơn vị hành động SI là jun-giây trong khi đơn vị công suất SI là jun trên giây [watt].
3. ^ Đối với một hạt mang điện chuyển động dưới ảnh hưởng của từ trường, hãy xem Phương trình Pauli.
4. ^ Trong hóa học, trạng thái dừng là các obitan nguyên tử và phân tử.

Người giới thiệu

1. ^ Griffiths, David J. [2004], Giới thiệu về Cơ học lượng tử [xuất bản lần thứ 2], Prentice Hall, ISBN 978-0-13-111892-8
2. ^ "Hình tượng trưng trên Google của nhà vật lý Erwin Schrödinger đánh dấu hoạt động của cơ học lượng tử". Người giám hộ. 13 tháng 8, 2013. Đã lấy 25 tháng 8 2013.
3. ^ Schrödinger, E. [1926]. "Một lý thuyết không điều hòa về cơ học của các nguyên tử và phân tử" [PDF]. Đánh giá thể chất. 28 [6]: 1049–1070. Bibcode:1926PhRv ... 28.1049S. doi:10.1103 / PhysRev.28.1049. Đã lưu trữ từ bản gốc [PDF] vào ngày 17 tháng 12 năm 2008.
4. ^ Laloe, Franck [2012], Chúng ta có thực sự hiểu cơ học lượng tử không, Nhà xuất bản Đại học Cambridge, ISBN 978-1-107-02501-1
5. ^ a b c d e Shankar, R. [1943]. Nguyên lý của Cơ học lượng tử [Xuất bản lần thứ 2]. Kluwer Academic / Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.
6. ^ P. R. Bunker; I. M. Mills; Per Jensen [2019]. "Hằng số Planck và các đơn vị của nó". J Quant Spectrosc Chuyển Radiat. 237: 106594. Bibcode:2019JQSRT.23706594B. doi:10.1016 / j.jqsrt.2019.106594.
7. ^ a b P. R. Bunker; Per Jensen [2020]. "Hằng số Planck của hành động h { displaystyle h}A". J Quant Spectrosc Chuyển Radiat. 243: 106835. doi:10.1016 / j.jqsrt.2020.106835.
8. ^ "Phương trình Schrodinger". Tăng phản vệ. Khoa Vật lý và Thiên văn, Đại học George State.
9. ^ Sakurai, J. J. [1995]. Cơ học lượng tử hiện đại. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. p. 68.
10. ^ Nouredine Zettili [ngày 17 tháng 2 năm 2009]. Cơ học lượng tử: Khái niệm và ứng dụng. John Wiley và các con trai. ISBN 978-0-470-02678-6.
11. ^ Ballentine, Leslie [1998], Cơ học lượng tử: Sự phát triển hiện đại, Công ty Xuất bản Khoa học Thế giới, ISBN 978-9810241056
12. ^ Schrödinger, Erwin [1995]. Giải thích cơ học lượng tử: Hội thảo Dublin [1949–1955] và các luận văn chưa được xuất bản khác. Báo chí cung Sửu. ISBN 9781881987086.
13. ^ David Deutsch, Sự khởi đầu của Vô cực, trang 310
14. ^ Barrett, Jeffrey A. [1999]. Cơ học lượng tử của suy nghĩ và thế giới. Nhà xuất bản Đại học Oxford. p. 63. ISBN 9780191583254.
15. ^ de Broglie, L. [1925]. "Recherches sur la théorie des quanta" [Về lý thuyết lượng tử] [PDF]. Annales de Physique. 10 [3]: 22–128. Bibcode:1925AnPh ... 10 ... 22D. doi:10.1051 / anphys / 192510030022. Đã lưu trữ từ bản gốc [PDF] vào ngày 9 tháng 5 năm 2009. .
16. ^ Weissman, M.B .; V. V. Iliev; I. Gutman [2008]. "Một người tiên phong đã nhớ: ghi chép tiểu sử về Arthur Constant Lunn". Giao tiếp trong Toán học và Hóa học Máy tính. 59 [3]: 687–708.
17. ^ Samuel I. Weissman; Michael Weissman [1997]. "Hoax của Alan Sokal và Lý thuyết về Cơ học lượng tử của A. Lunn". Vật lý ngày nay. 50, 6 [6]: 15. Bibcode:1997PhT .... 50f..15W. doi:10.1063/1.881789.
18. ^ Kamen, Martin D. [1985]. Khoa học rạng rỡ, Chính trị đen tối. Berkeley và Los Angeles, California: Nhà xuất bản Đại học California. pp.29–32. ISBN 978-0-520-04929-1.
19. ^ Schrödinger, E. [1984]. Giấy tờ đã thu thập. Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-7001-0573-2. Xem giới thiệu về bài báo đầu tiên năm 1926.
20. ^ a b Bách khoa toàn thư về vật lý [Tái bản lần 2], R. G. Lerner, G. L. Trigg, nhà xuất bản VHC, 1991, [Verlagsgesellschaft] 3-527-26954-1, [VHC Inc.] ISBN 0-89573-752-3
21. ^ Sommerfeld, A. [1919]. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-87144-484-5.
22. ^ Để biết nguồn tiếng Anh, hãy xem Haar, T. [1967]. "Lý thuyết lượng tử cũ".
23. ^ Teresi, Dick [ngày 7 tháng 1 năm 1990]. "THE LONE RANGER OF QUANTUM MECHANICS [Xuất bản năm 1990]". Thời báo New York. ISSN 0362-4331. Đã lấy 13 tháng 10 2020.
24. ^ a b Erwin Schrödinger [1982]. Các bài báo được sưu tầm về Cơ học sóng: Ấn bản thứ ba. Toán học Mỹ Sóc. ISBN 978-0-8218-3524-1.
25. ^ Schrödinger, E. [1926]. "Quantisierung als Eigenwertproblem; von Erwin Schrödinger". Annalen der Physik. 384 [4]: 361–377. Bibcode:1926AnP ... 384..361S. doi:10.1002 / andp.19263840404.
26. ^ Erwin Schrödinger, "Tình hình hiện tại trong Cơ học lượng tử", tr. 9 trên 22. Bản tiếng Anh do John D. Trimmer dịch. Bản dịch xuất hiện lần đầu tiên trong Kỷ yếu của Hiệp hội Triết học Hoa Kỳ, 124, 323–38. Sau đó, nó xuất hiện dưới dạng Phần I.11 của Phần I của Lý thuyết lượng tử và đo lường của J. A. Wheeler và W. H. Zurek, eds., Princeton University Press, New Jersey 1983.
27. ^ Einstein, A.; et al. "Những bức thư về Cơ học sóng: Schrodinger – Planck – Einstein – Lorentz".
28. ^ a b c Moore, W.J. [1992]. Schrödinger: Cuộc sống và Suy nghĩ. Nhà xuất bản Đại học Cambridge. ISBN 978-0-521-43767-7.
29. ^ Rõ ràng là ngay cả trong năm cuối đời của mình, như được thể hiện trong một bức thư gửi cho Max Born, Schrödinger không bao giờ chấp nhận cách giải thích Copenhagen.[28]:220
30. ^ a b Cơ học lượng tử phân tử Phần I và II: Giới thiệu về Hóa học lượng tử [Tập 1], P. W. Atkins, Nhà xuất bản Đại học Oxford, 1977, ISBN 0-19-855129-0
31. ^ Vũ trụ lượng tử mới, T. Này, P. Walters, Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1
32. ^ a b c d Quanta: Sổ tay các khái niệm, P. W. Atkins, Nhà xuất bản Đại học Oxford, 1974, ISBN 0-19-855493-1
33. ^ a b Vật lý nguyên tử và phân tử, B. H. Bransden, C. J. Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
34. ^ a b Vật lý lượng tử về nguyên tử, phân tử, chất rắn, hạt nhân và hạt [Tái bản lần thứ 2], R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
35. ^ a b c Cơ học lượng tử được phân cấp, D. McMahon, McGraw Hill [Hoa Kỳ], 2006, ISBN 0-07-145546-9
36. ^ a b Cơ học phân tích, L. N. Hand, J. D. Finch, Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
37. ^ Hội trường 2013 Mục 3.7.5
38. ^ Hội trường 2013 p. 78
39. ^ N. Zettili [ngày 24 tháng 2 năm 2009]. Cơ học lượng tử: Khái niệm và ứng dụng [Xuất bản lần thứ 2]. p.458. ISBN 978-0-470-02679-3.
40. ^ Hóa lý, P. W. Atkins, Nhà xuất bản Đại học Oxford, 1978, ISBN 0-19-855148-7
41. ^ Vật lý trạng thái rắn [Tái bản lần 2], J. R. Hook, H. E. Hall, Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-92804-1
42. ^ Townsend, John S. [2012]. "Chương 7: Dao động điều hòa một chiều". Phương pháp tiếp cận hiện đại đối với cơ học lượng tử. Sách Khoa học Đại học. trang 247–250, 254–5, 257, 272. ISBN 978-1-891389-78-8.
43. ^ Vật lý cho các nhà khoa học và kỹ sư - với Vật lý hiện đại [Xuất bản lần thứ 6], P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
44. ^ David Griffiths [2008]. Giới thiệu về các hạt cơ bản. Wiley-VCH. trang 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Đã lấy 27 tháng 6 2011.
45. ^ a b c Cơ lượng tử, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
46. ^ Baeumer, Boris; Meerschaert, Mark M.; Naber, Mark [2010]. "Mô hình ngẫu nhiên cho sự khuếch tán tương đối tính" [PDF]. Đánh giá vật lý E. 82 [1 Pt 1]: 011132. Bibcode:2010PhRvE..82a1132B. doi:10.1103 / PhysRevE.82.011132. PMID 20866590.
47. ^ Ajaib, Muhammad Adeel [2015]. "Một dạng cơ bản của phương trình Schrödinger". Tìm. Thể chất. 45 [12]: 1586–1598. arXiv:1502.04274. Bibcode:2015FoPh ... 45.1586A. doi:10.1007 / s10701-015-9944-z. S2CID 119117822.
48. ^ a b Ajaib, Muhammad Adeel [2016]. "Giới hạn không tương đối tính của phương trình Dirac". Tạp chí Quốc tế về Cơ sở Lượng tử.
49. ^ Lévy-Leblond, J-.M. [Năm 1967]. "Hạt không tương quan và phương trình sóng". Commun. Môn Toán. Thể chất. 6 [4]: 286–311. Bibcode:1967 CMaPh ... 6..286L. doi:10.1007 / BF01646020. S2CID 121990089.

đọc thêm

• P. A. M. Dirac [1958]. Nguyên lý của Cơ học lượng tử [Xuất bản lần thứ 4]. Nhà xuất bản Đại học Oxford. ISBN 0-198-51208-2.
• B.H. Bransden & C.J. Joachain [2000]. Cơ lượng tử [Xuất bản lần thứ 2]. Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-582-35691-7.
• David J. Griffiths [2004]. Giới thiệu về Cơ học lượng tử [Xuất bản lần thứ 2]. Benjamin Cummings. ISBN 978-0-13-124405-4.
• Hall, Brian C. [2013], Lý thuyết lượng tử cho các nhà toán học, Văn bản tốt nghiệp về Toán học, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• David Halliday [2007]. Cơ bản của Vật lý [Xuất bản lần thứ 8]. Wiley. ISBN 978-0-471-15950-6.
• Richard Liboff [2002]. Cơ học lượng tử giới thiệu [Xuất bản lần thứ 4]. Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Serway, Moses và Moyer [2004]. Vật lý hiện đại [Xuất bản lần thứ 3]. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-49340-0.CS1 duy trì: nhiều tên: danh sách tác giả [liên kết]
• Schrödinger, Erwin [tháng 12 năm 1926]. "Một lý thuyết không điều hòa về cơ học của nguyên tử và phân tử". Thể chất. Rev. 28 [6]: 1049–1070. Bibcode:1926PhRv ... 28.1049S. doi:10.1103 / PhysRev.28.1049.
• Teschl, Gerald [2009]. Phương pháp toán học trong cơ học lượng tử; Với ứng dụng cho các nhà khai thác Schrödinger. Providence, Rhode Island: Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. ISBN 978-0-8218-4660-5.

liện kết ngoại