Khi nhìn vào Tam giác Pascal, hãy tìm các số nguyên tố đứng đầu hàng. Số nguyên tố đó là ước của mọi số trong hàng đó
Quyền hạn của 2
Bây giờ chúng ta hãy xem lũy thừa của 2. Nếu bạn để ý thì tổng các số ở Hàng 0 là 1 hoặc 2^0. Tương tự, ở Hàng 1, tổng của các số là 1+1 = 2 = 2^1. Nếu bạn nhìn vào từng hàng cho đến hàng 15, bạn sẽ thấy rằng điều này là đúng. Thực tế, nếu tam giác Pascal được mở rộng ra ngoài Hàng 15, bạn sẽ thấy rằng tổng các số của bất kỳ hàng thứ n nào sẽ bằng 2^n
ma thuật 11
Mỗi hàng đại diện cho các số trong quyền hạn của 11 [mang chữ số nếu nó không phải là một số]. Ví dụ: các số ở hàng 4 là 1, 4, 6, 4 và 1 và 11^4 bằng 14,641. Nhìn vào hàng 5. Các số ở hàng 5 là 1, 5, 10, 10, 5 và 1. Vì 10 có hai chữ số nên bạn phải chuyển sang, nên bạn sẽ được 161,051 bằng 11^5
Mẫu gậy khúc côn cầu
Bắt đầu với bất kỳ số nào trong Tam giác Pascal và đi xuống đường chéo. Sau đó thay đổi hướng trong đường chéo cho số cuối cùng. Số cuối cùng đó là tổng của mọi số khác trong đường chéo
số tam giác
Nếu bạn bắt đầu với hàng 2 và bắt đầu với 1, đường chéo chứa các số tam giác
Số vuông
Xuống đường chéo, như hình bên phải, là các số vuông. Bạn có thể tìm chúng bằng cách cộng 2 số lại với nhau. Điều này có thể được thực hiện bằng cách bắt đầu với 0+1=1=1^2 [trong hình 1], sau đó 1+3=4=2^2 [hình 2], 3+6 = 9=3^2 [trong hình 1
*Lưu ý 2 số này được biểu diễn dưới dạng 2 số để dễ nhìn 2 số đang tính tổng
Dãy Fibonacci
Nếu bạn lấy tổng của đường chéo nông, bạn sẽ nhận được các số Fibonacci
Số Catalunya
Các số Catalan được tìm bằng cách lấy các đa giác và tìm xem có bao nhiêu cách chia chúng thành các hình tam giác. Những số này được tìm thấy trong tam giác Pascal bằng cách bắt đầu từ hàng thứ 3 của tam giác Pascal ở giữa và trừ đi số liền kề với nó
Binomial Expansion
Khi khai triển một phương trình nhị thức, các hệ số có thể tìm được trong tam giác Pascal. Ví dụ: nếu bạn đang mở rộng [x+y]^8, bạn sẽ nhìn vào hàng thứ 8 để biết rằng các chữ số này là hệ số của câu trả lời của bạn. Điều này đúng với [x+y]^n
fractal
Nếu bạn tô đen tất cả các số chẵn, bạn sẽ nhận được một fractal. Đây cũng là đệ quy của Tam giác Sierpinki
Mặc dù thực tế là tam giác được đặt tên là tam giác Pascal, mô hình này đã được biết đến từ lâu trước khi Pascal viết chuyên luận của mình. Mô tả rõ ràng đầu tiên về tam giác Pascal là của Halayudha, một nhà bình luận người Ấn Độ trong bài bình luận vào thế kỷ thứ 10 của ông về Chandah Shastra, một cuốn sách cổ của Ấn Độ. Không lâu sau đó, Omar Khayyam [khoảng A. D. 1100], một nhà thơ và nhà toán học Ba Tư, và Yang Hui [1238–1298], một nhà toán học Trung Quốc, cả hai đều thảo luận về tam giác số học này. Do đó, tam giác Pascal còn được gọi là tam giác Khayyam-Pascal ở Iran và tam giác Yang Hui ở Trung Quốc. [1] Hình tam giác của Yang Hui được hiển thị trong hình bên dưới bên trái. Lưu ý rằng ở hàng thứ hai từ cuối cùng, ký tự thứ 4 từ bên trái được đưa ra không chính xác. Nó sẽ trông giống hệt như ký tự ở ngay bên phải của nó. Chuyên luận của Pascal được xuất bản sau khi ông qua đời vào năm 1665. Ban đầu, hình tam giác được xoay 45°. Mỗi mục nhập là tổng của các mục trước đó trên hàng ngang và trên cột dọc, như trong hình bên dưới bên phải. [1]
Tam giác Yang Hui [tam giác Pascal] sử dụng số que [1303 AD]
Tam giác ban đầu của Pascal
Dựng tam giác Pascal
Để dựng tam giác Pascal, trước tiên hãy viết số 1 vào hàng trên cùng. Đối với các hàng bên dưới, số trong một mục nhất định được tính bằng cách cộng số ở trên và bên trái của mục nhập và số ở trên và bên phải của mục nhập. Nếu một trong hai mục trên không có, hãy coi mục bị thiếu là 0 và tính tổng theo cách thông thường. Kết quả là, tất cả các mục trên đường viền bên trái và bên phải của tam giác là 1 giây. Liên tục tính tổng ta được tam giác PascalMột minh họa về việc xây dựng năm hàng đầu tiên của tam giác Pascal
Phương pháp tổ hợp đối với tam giác Pascal
Hình ảnh 1. Năm hàng đầu tiên của tam giác Pascal được viết dưới dạng tổ hợp
Theo quy ước, từ trên xuống dưới, các hàng của tam giác Pascal được đánh số thứ tự n = 0,1,2,. Trong mỗi hàng, từ trái sang phải, các mục được đánh số r = 0,1,2,3. Điều rất quan trọng là phải ghi nhớ điều này. Tất cả nội dung bên dưới tuân theo quy ước đặt tên này
Mỗi mục trong tam giác bên trái có dạng
Thực chất tam giác trong Hình 1 và tam giác Pascal hoàn toàn giống nhau. Nói cách khác, nếu bạn tính giá trị của từng mục trong ảnh, bạn sẽ nhận được tam giác Pascal. [Cách tính được giải thích ở phần ẩn bên dưới. ]
[Click để xem chứng minh toán học]
[Nhấp chuột để ẩn bằng chứng toán học]
Trước hết cần phân biệt hoán vị và tổ hợp
Một hoán vị của n phần tử được lấy r tại một thời điểm là bất kỳ sự sắp xếp nào [nghĩa là thứ tự] của r phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử riêng biệt. Đối với vị trí đầu tiên, có n cách chọn; . ; . Do đó, tổng số hoán vị có thể, ký hiệu là P[n,r], là
Một sự kết hợp của n đối tượng được lấy r tại một thời điểm là một tập hợp bất kỳ [nghĩa là tập hợp không có thứ tự] của r đối tượng từ một tập hợp gồm n đối tượng riêng biệt. Ví dụ: nếu chúng ta chọn 3 số từ 10 số nguyên đầu tiên, thì các dãy [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1],
Tổng quát hơn, với mỗi sự kết hợp của r thứ, có r. cách sắp xếp để chúng có hoán vị khác nhau. Vì vậy
trong đó 0 ≤ r ≤ n
Để chứng minh rằng tam giác trong Hình 1 và tam giác Pascal thực sự là cùng một tam giác, chúng ta có thể chỉ ra rằng các đường viền của hai tam giác là giống nhau và các phần tử bên trong, tất cả các phần tử không nằm trên đường viền, tuân theo cùng một mẫu lặp lại
- Hãy xem các mục đường viền của tam giác Pascal. Lưu ý rằng tất cả chúng đều là 1. Các mục đường viền của hình tam giác Hình 1 là và, tất cả đều bằng 1 về số lượng. Như vậy, ta biết rằng hai tam giác có chung đường viền.
- Phần tử bên trong mỗi hàng của tam giác Pascal được tính bằng tổng của hai phần tử phía trên nó. Nếu chúng ta muốn hiển thị tam giác trong Hình 1 theo cùng một mô hình, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng
[Bấm để tiết lộ bằng chứng về danh tính của Pascal]
[Nhấp chuột để ẩn bằng chứng về danh tính của Pascal]
Giả sử chúng ta muốn chọn r người từ một ủy ban gồm n thành viên để thành lập một tiểu ban. Tổng cộng có thể có
Trường hợp 1. Giả sử ông. X trực thuộc tiểu ban. Sau đó, trong số [n–1] thành viên khác trong tiểu ban lớn, chúng ta cần chọn [r–1] người vào cùng tiểu ban với Mr. X. Có
Trường hợp 2. Giả sử bây giờ chúng ta muốn thành lập một tiểu ban mà Mr. X không thuộc về. Sau đó, có
Tổng số các tiểu ban có thể có r thành viên phải bằng tổng các số trong hai trường hợp trên
Kể từ đây,
Chứng minh đại số như sau
Lưu ý rằng
Điều này rất quan trọng để hiểu được bằng chứng bên dưới.
Như hình trên, các đường viền của tam giác Hình 1 và tam giác Pascal bao gồm tất cả các số 1. Với sự đồng nhất của Pascal, chúng ta biết rằng các mục bên trong mỗi hàng của hai tam giác có cùng một mẫu truy hồi. Vì cả hai hình tam giác được tính theo từng hàng bằng cách sử dụng cùng một phép lặp, nên chúng phải giống nhau. Chẳng hạn, hàng thứ 0 và thứ nhất giống nhau vì chúng chỉ bao gồm các mục đường viền. Sau đó, các hàng thứ 2 giống nhau vì một mục nhập nội bộ được tính theo cùng một cách từ cùng một hàng thứ 2. Và như thế. [Nói cho chính xác, ta đã chứng minh bằng quy nạp toán học trên các hàng. ]
Hệ số nhị thức trong tam giác Pascal
Tam giác Pascal có thể được sử dụng để xác định các hệ số trong khai triển nhị thức
Ví dụ,
Lưu ý rằng các hệ số của [x+y]n tương ứng với các số ở hàng n của tam giác Pascal. Nói cách khác,
phương trình. 2Nếu chúng ta sử dụng ký hiệu tổng, chúng ta có
phương trình. 2 được gọi là định lý nhị thức và
[Bấm để tiết lộ bằng chứng]
Ta có thể dùng quy nạp theo lũy thừa n và đẳng thức Pascal để chứng minh định lý
[Bấm để ẩn bằng chứng]
Ta có thể dùng quy nạp theo lũy thừa n và đẳng thức Pascal để chứng minh định lý
Rõ ràng mọi số hạng trong khai triển của [x + y]n đều có dạng Ckxn-kyk
Trường hợp cơ bản là n = 0.
Bây giờ giả sử khẳng định của chúng tôi trong
phương trình. 2 đúng với một n đã cho. Sau đó, theo giả thuyết quy nạp, chúng ta biết rằng Eq. 3Vậy ta cần chứng minh cho trường hợp n + 1. Vì
Chúng ta có
Theo nhận dạng của Pascal
Cũng thế,
Vì vậy,
Khẳng định của ta đúng với trường hợp n + 1. Do đó, bằng chứng quy nạp đã hoàn thành
Do đó, phương trình. 2 đúng với mọi n
Vấn đề tung đồng xuBên cạnh những ứng dụng trong tổ hợp và khai triển nhị thức mà chúng ta đã thấy ở các phần trước, tam giác Pascal còn có thể được sử dụng để tìm xác suất xảy ra một kết quả nào đó khi tung đồng xu.
Ví dụ, nếu tung đồng xu hai lần, chúng ta có thể có bất kỳ kết quả nào sau đây. Đầu-đầu, đuôi-đầu, đầu-đuôi, và đuôi-đuôi. Nếu chúng ta bỏ qua thứ tự của các kết quả, thì Đầu-Đầu và Đầu-Đuôi được coi là cùng một tổ hợp. Do đó, xác suất để được cả hai mặt ngửa, một mặt ngửa và một mặt sấp, và cả hai mặt sấp lần lượt là 1/4, 1/2 và 1/4. Chúng ta có thể thấy rằng tỷ lệ giữa ba xác suất là 1. 2. 1, là dòng 2 của tam giác Pascal. Xem bảng dưới đây để biết minh họa về mô hình như vậy trong các trường hợp tung đồng xu 1, 2, 3 hoặc 4
Số lần đồng xu được tung Kết quả có thể xảy ra [H=ngửa, T=sấp]Kết quả có thể xảy ra [Không phân biệt thứ tự]Xác suất của từng kết quả Đường thẳng tương ứng trong Tam giác Pascal1H,T1H,1T